Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Exercício 421234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140141142143144145146147148149150151152153154155156157158159160161162163164165166167168169170171172173174175176177178179180181182183184185186187188189190191192193194195196197198199200201202203204205206207208209210211212213214215216217218219220221222223224225226227228229230231232233234235236237238239240241242243244245246247248249250251252253254255256257258259260261262263264265266267268269270271272273274275276277278279280281282283284285286287288289290291292293294295296297298299300301302303304305306307308309310311312313314315316317318319320321322323324325326327328329330331332333334335336337338339340341342343344345346347348349350351352353354355356357358359360361362363364365366367368369370371372373374375376377378379380381382383384385386387388389390391392393394395396397398399400401402403404405406407408409410411412413414415416417418419420421422423424425426427428429430431432433434435436437438439440441442443444445446447448449450451452453454455456457458459460461462463464465466467468469470471472473474475476477478479480481482483484485486487488489490491492493494495496497498499500501502503504505506507508509510511512513514515516517518519520521522523524525526527528529530531532533534535536537538539540541542543544545546547548549550551552553554555556557558559560561562563564565566567568569570571572573574575576577578579580581582583584585586587588589590591592593594595596597598599600601602603604605

Enunciado

1) Calcule cada uma das seguintes integrais e determine se for convergente ou não conforme corresponda:

a) ∫ sen ⁡ θ cos 3 ⁡ θ - cos 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1 d θ

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos calcular a integral ∫ sen ⁡ θ cos 3 ⁡ θ - cos 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1 d θ .

Repara que do jeito que tá não conseguimos calcular, né? Mas como temos um monte de cosseno embaixo e tem seno em cima, lembrando que menos seno é a derivada do cosseno, então vamos usar substituição simples.

Passo 2

Para a substituição:

u = cos ⁡ θ

d u = - sen ⁡ θ d θ → sen ⁡ θ d θ = - d u

E a integral fica:

∫ sen ⁡ θ cos 3 ⁡ θ - cos 2 ⁡ θ + cos ⁡ θ - 1 d θ = ∫ - d u u 3 - u 2 + u - 1

= - ∫ 1 u 3 - u 2 + u - 1 d u

Podemos reescrever em:

= - ∫ 1 u 2 u - 1 + u - 1 d u

= - ∫ 1 u - 1 u 2 + 1 d u

Passo 3

Vamos pegar o que está dentro da integral e dividir em frações parciais:

1 u - 1 u 2 + 1 = A u - 1 + B u + C u 2 + 1

1 u - 1 u 2 + 1 = A u 2 + 1 + B u + C u - 1 u - 1 u 2 + 1

1 u - 1 u 2 + 1 = A u 2 + A + B u 2 - B u + C u - C u - 1 u 2 + 1

1 u - 1 u 2 + 1 = A + B u 2 + - B + C u + A - C u - 1 u 2 + 1

Ficamos com o sistema:

A + B = 0 - B + C = 0 A - C = 1

Resolvendo:

A = 1 2

B = - 1 2

C = - 1 2

A integral fica:

- ∫ 1 u - 1 u 2 + 1 d u = - 1 2 ∫ 1 u - 1 + - u - 1 u 2 + 1 d u

= - 1 2 ∫ 1 u - 1 - u u 2 + 1 - 1 u 2 + 1 d u

= - 1 2 ∫ 1 u - 1 d u - ∫ u u 2 + 1 d u - ∫ 1 u 2 + 1 d u

Passo 4

Resolvendo a integral do meio, que não sai direto, usando outra substituição simples:

v = u 2 + 1

d v = 2 u   d u → u d u = d v 2

A integral fica:

∫ u u 2 + 1 d u = ∫ 1 v d v 2

= 1 2 ln ⁡ v

Voltando pra u :

= 1 2 ln ⁡ u 2 + 1

Passo 5

E voltando pra equação lá do final do passo 3:

= - 1 2 ∫ 1 u - 1 d u - ∫ u u 2 + 1 d u - ∫ 1 u 2 + 1 d u

= - 1 2 ln ⁡ u - 1 - 1 2 ln ⁡ u 2 + 1 - arctan ⁡ u

Agora só falta voltar pro cosseno:

= - 1 2 ln ⁡ cos ⁡ θ - 1 - 1 2 ln ⁡ cos 2 ⁡ θ - 1 - arctan ⁡ cos ⁡ θ

= - 1 2 ln ⁡ cos ⁡ θ - 1 - 1 4 ln ⁡ cos 2 ⁡ θ - 1 - 1 2 arctan ⁡ cos ⁡ θ

Como é uma integral indefinida, adicionamos a constante no final:

= - 1 2 ln ⁡ cos ⁡ θ - 1 - 1 4 ln ⁡ cos 2 ⁡ θ - 1 - 1 2 arctan ⁡ cos ⁡ θ + C

Resposta

- 1 2 ln ⁡ cos ⁡ θ - 1 - 1 4 ln ⁡ cos 2 ⁡ θ - 1 - 1 2 arctan ⁡ cos ⁡ θ + C

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32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x