Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

1) Calcule as integrais.

b) ∫ 0 π 2 x c o s 2 x d x

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão foi apenas solicitado que calculássemos a integral de x c o s 2 x em um intervalo de x variando de 0 a π / 2 .

Imagine um cenário que temos que calcular a área abaixo de uma curva e essa curva é justamente obtida por x c o s 2 x . Não podemos calcular a base · altura de cada pedaço, isso daria muito trabalho!

O que poderíamos fazer é calcular a integral dessa função no intervalo dado!

Entendeu? Mas então como podemos calcular a integral de uma função assim?? 🤔🤔

Existe uma técnica muito interessante que consiste em substituir x por outra variável. Essa técnica chamamos de substituição u d u e substituindo parte da função por u de modo que derivando u em relação a x , conseguimos simplificar a integral substituindo d x .

Bora ver como é? 😁

Passo 2

A função de integração é dada por x c o s 2 x , se substituirmos 2 x por u , temos que

2 x = u → x = u 2

E, derivando u ...

d u d x = d 2 x d x = 2

Isolando d x

d x = d u 2

Convertendo nossa integral para a coordenada u , temos

∫ x c o s 2 x d x → ∫ u 2 c o s u d u 2 → ∫ u c o s u 4 d u

Podemos colocar 1 / 4 para fora da integral, resultando em

∫ x c o s 2 x d x → 1 4 ∫ u c o s u d u

E não podemos esquecer dos limites de integração π 2 e 0 .

Se x está variando entre esses valores, podemos dizer que x = π / 2 e x = 0 limitam nossa região.

Mas se 2 x = u , então para x = π / 2

u = 2 x = 2 π 2

u = π

E para x = 0

u = 2 x = 2 0

u = 0

Logo, nessas novas coordenadas, os limites de integração vão de π a 0 .

Escrevendo a função com os limites de integração, temos

1 4 ∫ 0 π u c o s u d u

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Mas agora chegamos em um outro entrave! Se formos calcular ∫ u c o s u d u não íamos conseguir naturalmente, então precisamos de alguma outra técnica para esse caso.

Essa técnica que podemos aplicar é muito usada para a integral de produto de duas funções.

A integração por partes consiste em reescrever uma função que é o produto entre duas outras funções como

∫ u d v = u · v - ∫ v d u

Deu pra entender? Se chamarmos u de u e cos ⁡ u d u de d v , derivando para encontrar d u e integrando d v temos d u d u = 1 e ∫ d v = s e n u , ou seja, d u = d u e v = s e n u

Substituindo esses valores na fórmula, vamos obter

∫ u c o s u d u = u · s e n u - ∫ s e n u d u

Pelo teorema fundamental do cálculo, sabemos que a integral de s e n u é igual a - cos ⁡ u

∫ u c o s u d u = u s e n u - - cos ⁡ u

∫ u c o s u d u = u s e n u + cos ⁡ u

Aplicando os limites de integração de π e 0

∫ 0 π u c o s u d u = π s e n π + cos ⁡ π - 0 s e n 0 + cos ⁡ 0

∫ 0 π u c o s u d u = 0 - 1 - 0 - 1 = - 2

Portanto, como tínhamos 1 / 4 dessa integral, o resultado é

∫ 0 π 2 x c o s 2 x d x = 1 4 ∫ 0 π u c o s u d u

∫ 0 π 2 x c o s 2 x d x = 1 4 - 2

∫ 0 π 2 x c o s 2 x d x = - 1 2

Com isso, vemos que a integral de x c o s 2 x com x variando entre π / 2 e 0 , resulta em - 1 2 .

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∫ 0 π 2 x c o s 2 x d x = - 1 2

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