Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

UFRJ - Cálculo 1 - P2 2009.2 - 2a

Calcule as integrais abaixo:

∫ e 3 a r c t g t t 2 + 1 d t

Passo 1

O intuito de resolver uma integral por substituição simples é de transformar uma integral mais difícil em uma mais simples de resolver. E como fazer isso?

Bem, neste problema a gente consegue  identificar dentro da integral uma parte que é derivada da outra. Então, a melhor forma de ser resolver essa integral é por substituição simples. Ainda não percebeu? Vamos com calma.

A derivada de arctg ⁡ ( t ) é 1 1 + t 2 . Assim sendo, convém utilizarmos a substituição.

Se eu chamar o argumento da função exponencial de u , o termo que vai sobrar na integral é igual à sua derivada, a menos de uma constante. Não tem mistério! Não parece que vai sobrar nenhum termo com t   na integral fazendo essa substituição!

Com a prática, você vai conseguir visualizar melhor. O importante é você estar familiarizado com as integrais imediatas, para ter esse olho de lince na hora de identificar esse tipo de coisa!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Fazendo a substituição:

u = 3   a r c t g   ( t ) → d u = 3 1 + t 2 d t

Repara que ainda não podemos substituir d u na integral, pois temos um 3 multiplicando 1 1 + t 2 d t . Então nós vamos passar o 3 para o outro lado dividindo.

Passo 3

Pronto! Agora, eu já posso fazer a substituição na minha integral,

∫ e 3 a r c t g t t 2 + 1 d t =   ∫ 1 3   e u   d u  

Passo 4

Agora que já temos uma integral mais simples é só calcular.

∫ 1 3   e u   d u = 1 3 e u + C

A essa altura, cuidado para não se esquecer de adicionar a constante C de integração, heim!

Passo 5

Para finalizar, nós temos que voltar com o t , substituindo ele no resultado. Lembra que,

u = 3   a r c t g   ( t )

Então, voltando para t :

∫ e 3 arctg ⁡ ( t ) t 2 + 1 d t = 1 3 e 3 arctg ⁡ ( t ) + C

Resposta

∫ e 3 arctg ⁡ ( t ) t 2 + 1 d t = 1 3 e 3 arctg ⁡ ( t ) + C

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