Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

2.6. Usando substituição, calcule as integrais abaixo:

(f) ∫ 0 π 2 x c o s x 2 d x

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema queremos obter a integral da função f x = x c o s x 2 entre x = π 2 e x = 0 . Pra isso temos que usar o método de substituição.

E aí, lembra como fazemos isso? 😐

O método de integração por substituição é o método equivalente a regra da cadeira nas integrais, assim substituímos parte da função de integração por uma variável e consequentemente d x deve ser adaptado para essa nova variável.

Bora ver como é na prática? 👀

Passo 2

Calculando a integral

∫ 0 π 2 x c o s x 2 d x

Se fizermos u = x 2 , temos que d u d x = 2 x e, portanto, d x = 1 2 x d u

Adaptando também os limites de integração, para x = π 2

u f = π 2 2 = π 2

Para x = 0

u i = 0 2 = 0

Substituindo x 2 , d x e os limites de integração, vamos obter

∫ 0 π 2 x c o s x 2 d x → ∫ 0 π 2 x c o s u 1 2 x d u

∫ 0 π 2 c o s u 1 2 d u

Tirando a constante 1 / 2 da integral...

1 2 ∫ 0 π 2 c o s u d u

Bacana, não é? 😉

Passo 3

Pelo teorema fundamental do cálculo, a integral de cos ⁡ u é dada por

∫ cos ⁡ u d u = s e n u

Aplicando os limites de integração

1 2 ∫ 0 π 2 c o s u d u = 1 2 s e n π 2 - s e n 0

1 2 ∫ 0 π 2 c o s u d u = 1 2

Portanto, o resultado da integral do enunciado é

∫ 0 π 2 x c o s x 2 d x = 1 2

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

∫ 0 π 2 x c o s x 2 d x = 1 2

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