Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Calcule ∫ t a n ( x ) d x . (*Antes de resolver, procure memes sobre esta integral na internet, existem alguns ótimos.*)

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Precisamos calcular

∫ t a n ( x ) d x

Fazendo uma vasta pesquisa de memes, encontramos que a melhor forma de resolver essa integral é através de uma substituição simples! Maaaaaas, vamos ter que tomar um pouco de cuidado! Vamos com calma! Vem comigo!

Passo 2

Note o que acontece quando tentamos fazer uma substituição simples, temos que

u = t a n ( x )

simplesmente calcular d u seria bastante problemático, então vamos fazer o seguinte, elevemos ambos os lados ao quadrado, temos que

u 2 = t a n ( x )           ( 1 )

ao diferenciar os dois lados, temos que usando a regra da cadeia e derivadas conhecidas, obtemos

2 u   d u = s e c 2 ( x ) d x         ( 2 )

Isso ainda não é o suficiente para reescrever a nossa integral! MAAAAS, se lembrarmos que

t a n 2 ( x ) = s e c 2 ( x ) - 1

podemos usar as equações ( 1 ) e ( 2 ) para obter que

u 4 = 2 u d u d x - 1

ou seja, podemos escrever que

d x = 2 u u 4 + 1 d u

e, a nossa integral se torna

�� t a n ( x ) d x = ∫ u 2 u u 4 + 1 d u = 2 ∫ u 2 u 4 + 1 d u

Okay… mudamos nosso problema! Mas ainda precisamos simplificar um pouco mais! Vem comigo!

Passo 3

Vamos dividir o denominador e o numerador por u 2 , temos que

2 ∫ u 2 u 4 + 1 d u = 2 ∫ 1 u 2 + 1 / u 2 d u

parece pior, mas a vantagem está no fato que diminuímos a potência dos u . A vantagem está no fato de que podemos reescrever este integrando como

u 2 + 1 u 2 = ( u ) 2 + ( 1 u ) 2

se completarmos o quadrado, temos que

u 2 + 2 u ( 1 u ) + ( 1 u ) 2 - 2 u ( 1 u ) = u 2 + ( 1 u ) 2

como podemos identificar um quadrado perfeito, temos que

u 2 + ( 1 u ) 2 = ( u + 1 u ) 2 - 2

A nossa integral se torna então

2 ∫ 1 u 2 + 1 / u 2 d u = ∫ 2 ( u + 1 u ) 2 - 2 d u

Não parece ter melhorado muito ainda! Vamos continuar com alguns truques algébricos!

Passo 4

Se fôssemos usar uma substituição simples novamente para simplificar o nosso problema, seria interessante que pudéssemos identificar a derivada do denominador em nosso numerador, então, porque não colocamos a derivada

d d u ( u + 1 u ) = 1 - 1 u 2

em nosso numerador? Não podemos simplesmente colocar, mas note que

1 - 1 u 2 + 1 + 1 u 2 = 2

e convenientemente, temos um 2 em nosso numerador, dessa forma, podemos dizer que

∫ 2 ( u + 1 u ) 2 - 2 d u = ∫ 1 - 1 u 2 ( u + 1 u ) 2 - 2 d u + ∫ 1 + 1 u 2 ( u + 1 u ) 2 - 2 d u

A primeira integral está da maneira que queríamos, mas a segunda não, no entanto, esse denominador foi construído completando o quadrado, lembra? Nós podíamos muito bem ter feito o quadrado da seguinte maneira

( u ) 2 - 2 ( u ) ( 1 u ) + ( 1 u ) 2 = ( u - 1 u ) 2

de forma que o denominador original pode ser identificado como

u 2 + 1 u 2 = ( u - 1 u ) 2 + 2

de maneira que a integral que escrevi acima, é simplesmente

∫ 1 - 1 u 2 ( u + 1 u ) 2 - 2 d u + ∫ 1 + 1 u 2 ( u + 1 u ) 2 - 2 d u = ∫ 1 - 1 u 2 ( u + 1 u ) 2 - 2 d u + ∫ 1 + 1 u 2 ( u - 1 u ) 2 + 2 d u

Qual a vantagem disso? Agora em ambos os numeradores temos um termo que pode ser obtido através da derivada do termo elevado ao quadrado no denominador. Uff… Vamos continuar!

Passo 5

Vamos resolver uma integral de cada vez! Primeiro fazemos a substituição

t = u + 1 u e d t = ( 1 - 1 u 2 ) d u

de forma que a primeira integral é simplesmente

∫ 1 - 1 u 2 ( u + 1 u ) 2 - 2 d u = ∫ d t t 2 - 2

da mesma forma, podemos reescrever a segunda integral usando a substituição

w = ( u - 1 u ) e d w = ( 1 + 1 u 2 ) d u

portanto, temos que

∫ 1 + 1 u 2 ( u - 1 u ) 2 + 2 d u = ∫ d w w 2 + 2

Finalmente, nossa integral agora pode ser escrita como

∫ 1 - 1 u 2 ( u + 1 u ) 2 - 2 d u + ∫ 1 + 1 u 2 ( u - 1 u ) 2 + 2 d u = ∫ d t t 2 - 2 + ∫ d w w 2 + 2

Finalmente parece um pouco melhor não é? Vamos ver o que conseguimos fazer com isso agora!

Passo 6

A primeira integral é conhecida, e para facilitar nossa vida, vamos usar que

∫ 1 x 2 - a 2 d x = - 1 a t a n h - 1 ( x a )

ou seja, temos que a primeira integral é dada por

∫ 1 t 2 - 2 d t = - 1 2 t a n h - 1 ( t 2 )

a segunda integral também é conhecida como

∫ 1 x 2 + a 2 d x = 1 a t a n - 1 ( x a )

de forma que

∫ 1 w 2 + 2 d w = 1 2 t a n - 1 ( w 2 )

Quase lá! Juntando os resultados, temos que

∫ d t t 2 - 2 + ∫ d w w 2 + 2 = 1 2 t a n - 1 ( w 2 ) - 1 2 t a n h - 1 ( t 2 )

parece finalizado? Quase, ainda temos que voltar para a variável original! Vamos fazer isso no próximo passo para fechar!

Passo 7

Usando que

t = u + 1 u e w = u - 1 u

temos que

∫ 1 - 1 u 2 ( u + 1 u ) 2 - 2 d u + ∫ 1 + 1 u 2 ( u - 1 u ) 2 + 2 d u = 1 2 t a n - 1 ( u - 1 u 2 ) - 1 2 t a n h - 1 ( u + 1 u 2 )

Acabou? Nope… ainda temos que usar que

u = t a n ( x )

de forma que

∫ t a n ( x ) d x = 1 2 t a n - 1 ( t a n ( x ) - c o t a n ( x ) 2 ) - 1 2 t a n h - 1 ( t a n ( x ) + c o t a n ( x ) 2 ) + C

Só não esquece de colocar a constante no final, belezinha? Uff… acabou… a questão foi isso… te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ t a n ( x ) d x = 1 2 t a n - 1 ( t a n ( x ) - c o t a n ( x ) 2 ) - 1 2 t a n h - 1 ( t a n ( x ) + c o t a n ( x ) 2 ) + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada.int cos 3 x d x , u = 3 x
32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x