Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Exercício 971234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253545556575859606162636465666768697071727374757677787980818283848586878889909192939495969899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140141142143144145146147148149150151152153154155156157158159160161162163164165166167168169170171172173174175176177178179180181182183184185186187188189190191192193194195196197198199200201202203204205206207208209210211212213214215216217218219220221222223224225226227228229230231232233234235236237238239240241242243244245246247248249250251252253254255256257258259260261262263264265266267268269270271272273274275276277278279280281282283284285286287288289290291292293294295296297298299300301302303304305306307308309310311312313314315316317318319320321322323324325326327328329330331332333334335336337338339340341342343344345346347348349350351352353354355356357358359360361362363364365366367368369370371372373374375376377378379380381382383384385386387388389390391392393394395396397398399400401402403404405406407408409410411412413414415416417418419420421422423424425426427428429430431432433434435436437438439440441442443444445446447448449450451452453454455456457458459460461462463464465466467468469470471472473474475476477478479480481482483484485486487488489490491492493494495496497498499500501502503504505506507508509510511512513514515516517518519520521522523524525526527528529530531532533534535536537538539540541542543544545546547548549550551552553554555556557558559560561562563564565566567568569570571572573574575576577578579580581582583584585586587588589590591592593594595596597598599600601602603604605

Enunciado

Calcule ∫ 0 1 l n ( x ) d x .

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Precisamos calcular

∫ 0 1 l n ( x ) d x

Essa integral não pode ser identificada diretamente, nem resolvida por substituição simples, frações parciais, ou substituições trigonométricas, então, na dúvida, tentemos por partes! Vamos começar a integrar!

Passo 2

A integração por partes se resume em reescrever integrais da forma

∫ a b u d v = u v | a b - ∫ a b v d u

aqui não temos muitas escolhas, vamos tomar como u

u = l n ( x ) e d u = 1 x d x

e, também precisamos usar que

d v = d x e v = x

de forma que

∫ 0 1 l n ( x ) d x = l n ( x ) x | 0 1 - ∫ 0 1 x 1 x d x = x l n ( x ) | 0 1 - ∫ 0 1 d x

Parece bem simples, não é? Mas precisamos tomar um pequeno cuidado ao avaliar os limites no primeiro termo!

Passo 3

Vamos avaliar os limites no primeiro termo, temos que

x l n ( x ) | 0 1 = ( 1 ) l n ( 1 ) - ( 0 ) l n ( 0 )

mas l n ( 0 ) diverge, no entanto, temos uma divergência do tipo 0 × ∞ , o que é uma indeterminação, vamos escrever então esse segundo termo como

l i m x → 0 + x l n ( x ) = l i m x → 0 + l n ( x ) 1 / x

Agora temos uma indeterminação do tipo ∞ / ∞ e isso pode ser resolvido utilizando o método de L’hospital, derivando o numerador e denominador, temos que

l i m x → 0 + l n ( x ) 1 / x = l i m x → 0 + 1 / x - 1 / x 2 = - l i m x → 0 + x

ou seja, podemos garantir que

x l n ( x ) | 0 1 = ( 1 ) l n ( 1 ) - ( 0 ) l n ( 0 ) = 0

pois l n ( 1 ) = 0 . Desta maneira, a nossa integral se torna

∫ 0 1 l n ( x ) d x = 0 - x | 0 1 = - 1

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

∫ 0 1 l n ( x ) d x = - 1

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Calcule a integral.int x^3 (x - 1)^(- 4) d x
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32. int (d t)/((2 + t)^2)
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integralint (sec x cos 2 x)/(s e n x + sec x) d x