Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

2.7. Calcule

∫ - 1 1 t g x 1 + x 2 + x 4 d x

(Dica: a função é ímpar, pense no seu gráfico e na área abaixo dele)

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema estamos interessados em obter a integral de f x = t g x 1 + x 2 + x 4 entre x = 1 e x = - 1 .

Parece tranquilo? 🤔

Ainda no enunciado, foi dito que a função de integração é ímpar e seria interessante olhar para o tráfico de f x e na área abaixo dele.

Ok, mas o que é uma função ímpar? 👀

Para determinar se uma função é ímpar, você precisa verificar se ela atende à propriedade de simetria ímpar, ou seja, se a função f - x é igual a - f x para todos os valores de x no domínio da função.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Temos que a função de integração é

f x = t g x 1 + x 2 + x 4

Perceba que no denominador, as ordens de x são sempre pares, então se x for positivo ou x for negativo, o sinal será sempre o mesmo.

Já no numerador, temos t g x , sabemos que o gráfico de t g x possui simetria ímpar entre π 2 , - π 2 .

Ou seja, f x realmente é uma função ímpar.

Como regra, quando temos uma função ímpar integrada em um intervalo simétrico, o resultado dessa integral é 0

∫ - a a f x d x = 0

Como nossa função é ímpar e o intervalo simétrico, temos

∫ - 1 1 t g x 1 + x 2 + x 4 d x = 0

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

∫ - 1 1 t g x 1 + x 2 + x 4 d x = 0

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