Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Mostre que ∫ 0 ∞ e - x 2 d x .

Passo 1

Oiie, tudo bem?

Precisamos mostrar que

∫ 0 ∞ e - x 2 d x

é o que mesmo? O enunciado não diz, mas creio que devemos mostrar o resultado conhecido

∫ 0 ∞ e - x 2 d x = π 2

para fazer isso vamos partir da seguinte integral

∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x

e, como temos que e - x 2 é uma função par, podemos relacionar ambas as integrais através de

2 ∫ 0 ∞ e - x 2 d x = ∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x

O segredo está em reescrever a integral e utilizar coordenadas polares! Saca só!

Passo 2

Vamos dar um nome para nossa integral, temos que

I = ∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x

eu dei esse nome apenas para podermos discutir com mais calma! Vamos tomar o quadrado desta integral, temos que

I 2 = ( ∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x ) 2 = ( ∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x ) ( ∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x )

Mas qual a vantagem disso? Note que o x que aparece dentro da integral na verdade não tem importância, ele poderia ser chamado de qualquer coisa e o resultado seria o mesmo! Isso é o que chamamos de variáveis mudas, sendo assim, vamos chamar o x na segunda integral por outro nome, tal como

I 2 = ( ∫ - ∞ ∞ e - x 2 d x ) ( ∫ - ∞ ∞ e - y 2 d y )

Isso pode ser reescrito como

I 2 = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ e - x 2 e - y 2 d x d y

como as variáveis são independentes, isso não é problema algum! Ainda mais, podemos usar a propriedade da exponencial para escrever

I 2 = ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ e - ( x 2 + y 2 ) d x d y

Não parece ter melhorado muito, certo? Maaaas, pelo menos agora tem uma coisa que podemos fazer! Vamos olhar esse problema em coordenadas polares! Saca só!

Passo 3

Coordenadas polares são da forma

x = r   c o s ( θ ) e y = r   s e n ( θ )

com jacobiano dado por

∂ ( x , y ) ∂ ( r , θ ) = r

podemos usar isso para reescrever o nosso integrando! Mas antes, como ficarão os limites de integração? Note que as nossa variáveis vão de - ∞ até , então elas cobrem todo o plano X Y , uma forma de fazermos isso com coordenadas polares, é considerar os seguintes limites de integração

I 2 = ∫ 0 2 π ∫ 0 ∞ e - r 2 r d r d θ

Essa integral nós conseguimos resolver! Vamos lá!

Passo 4

A integral em r é o verdadeiro desafio, usando uma substituição simples da forma

u = - r 2 e d u = - 2 r d r

temos que a integral se torna

I 2 = - 1 2 ∫ 0 2 π ∫ u ( 0 ) u ( ∞ ) e u d u d θ = - 1 2 ∫ 0 2 π ∫ 0 - ∞ e u d u d θ

a integral em u pode ser escrita como

∫ 0 - ∞ e u d u = l i m b → - ∞ ∫ 0 b e u d u = l i m b → - ∞ e u | 0 b

avaliando os limites temos que

l i m b → - ∞ e u | 0 b = l i m b → - ∞ e b - 1

no limite a exponencial tende a um número muito pequeno, portanto, temos que

∫ 0 - ∞ e u d u = - 1

E, portanto, nossa integral é dada por

I 2 = 1 2 ∫ 0 2 π d θ = π

ou simplesmente

I = π

usando a relação de paridade, finalmente mostramos que

∫ 0 ∞ e - x 2 d x = π 2

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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