Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

2.6. Usando substituição, calcule as integrais abaixo:

(h) ∫ - 1 0 x x + 1 100 d x

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos obter a integral da função f x = x x + 1 100 entre x = 0 e x = - 1 . Pra isso temos que usar o método de substituição.

E aí, lembra como fazemos isso? 😐

O método de integração por substituição é o método equivalente a regra da cadeira nas integrais, assim substituímos parte da função de integração por uma variável e consequentemente d x deve ser adaptado para essa nova variável.

Bora ver como é na prática? 👀

Passo 2

Calculando a integral

∫ - 1 0 x x + 1 100 d x

Se fizermos u = x + 1 , temos que d u d x = 1 → d x = d u .

Adaptando também os limites de integração, temos que para x = 0

u f = 0 + 1 = 1

E para x = - 1

u i = - 1 + 1 = 0

Substituindo essas informações na integral, temos

∫ - 1 0 x x + 1 100 d x → ∫ 0 1 x u 100 d u

Como u = x + 1 , então x = u - 1 , ou seja

∫ 0 1 u - 1 u 100 d u

∫ 0 1 u u 100 - u 100 d u

∫ 0 1 u 10 1 - u 100 d u

Bacana, não é? 😁

Passo 3

Pelo método de integração polinomial, vamos obter

∫ u 101 - u 100 d u = u 101 + 1 101 + 1 - u 100 + 1 100 + 1

∫ u 101 - u 100 d u = u 10 2 10 2 - u 10 1 10 1

Aplicando os limites de integração

∫ 0 1 u 101 - u 100 d u = 1 102 102 - 1 101 101 - 0

∫ 0 1 u 101 - u 100 d u = 1 102 - 1 101

∫ 0 1 u 101 - u 100 d u = - 1 10 30 2

Portanto, a integral do enunciado resulta em

∫ - 1 0 x x + 1 100 d x = - 1 10302

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∫ - 1 0 x x + 1 100 d x = - 1 10302

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