Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Determine o valor de R tal que

∫ 1 R d x x 3 + x = 1

Passo 1

A gente tem que resolver esse cara aí, em função de R , e igualar a expressão a 1 .

Se liga que a integral não é bobinha não. Aquela raiz cúbica vai complicar a nossa vida. Para tentar facilitar, a gente pode pegar esse x 3 e chamar ele de uma outra variável u .

u = x 3 → d u = d x 3 x 3 2

Agora, para substituir esse d x ali eu precisaria deixar ele separado, assim:

d x = 3 x 3 2 d u

Ué, não pode sobrar nenhum x na minha substituição final, correto? Sim, lembra que u = x 3 :

d x = 3 u 2 d u

Só mais uma coisinha se u = x 3 , então podemos elevar ambos os lados ao cubo e obter

x = u 3

Por fim, vamos recalcular os limites de integração já que nossa variável agora é u , substituindo:

L i m i t e s : u i n f e r i o r = 1 3 = 1 ;     u s u p e r i o r = R 3

Passo 2

Agora, vamos substituir tudo e montar a integral:

∫ 1 R d x x 3 + x = ∫ 1 R 3 3 u 2 d u u + u 3 = 3 ∫ 1 R 3 u 2 u ( 1 + u 2 ) d u = 3 ∫ 1 R 3 u ( 1 + u 2 ) d u

Repara, essa integral nós sabemos! O termo de cima é um múltiplo da derivada do debaixo. Vou pegar então esse pedaço de baixo e substituir de novo:

t = 1 + u 2 → d t = 2 u   d u ,     u   d u = d t 2

L i m i t e s :   t i n f e r i o r = 1 + 1 2 = 2 ;     t s u p e r i o r = 1 + R 3 2

3 ∫ 1 R 3 u 1 + u 2 d u = 3 ∫ 2 1 + R 3 2 d t 2 t = 3 2 ln ⁡ t   [ 1 + R 3 2 2

Parece que piorou, né? Mas fica calmo, que a expressão só tá grande. Então vamos substituir os limites de integração tranquilamente. Seguindo,

= 3 2 ln ⁡ 1 + R 3 2 - ln ⁡ 2 = 3 2 ln ⁡ 1 + R 3 2 2

Parece que piorou né?

Passo 3

Ok, agora que resolvemos precisamos matar o valor de R pela relação lá de cima:

3 2 ln ⁡ 1 + R 3 2 2 = 1

ln ⁡ 1 + R 3 2 2 = 2 3 = ln ⁡ e 2 3

Lembrando que ln ⁡ e = 1

1 + R 3 2 2 = e 2 3

R 3 2 = 2 e 2 3 - 1

R = 2 e 2 3 - 1 3 2

Resposta

R = 2 e 2 3 - 1 3 2

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