Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Nos exercícios 1 a 24 , resolva a integral indicada. Em alguns casos será preciso aplicar mais de uma técnica de integração.

19)

∫ 7 x 2 - 6 x + 18 d x

Passo 1

Cara, integrais como está normalmente se resolve de duas formas:

1º Por frações parciais.

2º Ou por substituição trigonométrica.

Você vai descobrir qual dos dois caminhos tomar verificando se a raiz da expressão do denominador existe raiz real. Se sim, trata-se do primeiro caso, se não, o segundo. Veja:

x 2 - 6 x + 18 = 0

Calculando o ...

∆ = b 2 - 4 a c = 6 2 - 4 ⋅ 18 =

36 - 72 = - 36

Epa! Raiz de negativo, não é real então estamos trabalhando com uma substituição trigonométrica, saca?

Passo 2

Então, antes de substituirmos qualquer coisa (na verdade para saber como vamos substituir), vamos completar quadrado na expressão quadrática de baixo:

∫ 7 x 2 - 6 x + 18 d x =

Como x - 3 2 = x 2 - 6 x + 9 ...

∫ 7 x 2 - 6 x + 9 + 9 d x = 7 ∫ 1 x - 3 2 + 9 d x

Man, essa integral tá com muita cara daquela integral que já conhecemos o resultado imediatamente:

∫ 1 a 2 + 1 d x = arctan ⁡ a + C

Mas para chegar nessa integral, vamos trabalhar um pouquinho no algebrismo da coisa (mas sempre focando chegar numa integral parecida, saca?)

Passo 3

7 ∫ 1 x - 3 2 + 9 d x

Podemos colocar o 9 em evidência...

7 ∫ 1 x - 3 2 + 9 d x = 7 ∫ 1 9 x - 3 2 9 + 1 d x

Como 9 = 3 2 ...

7 9 ∫ 1 x - 3 2 3 2 + 1 d x = 7 9 ∫ 1 x - 3 3 2 + 1 d x =

7 9 ∫ 1 x 3 - 1 2 + 1 d x

Prontinho, agora se fizermos a substituição...

a = x 3 - 1     →           d a = 1 3 d x               o u               d x = 3 d a

Então substituindo...

7 9 ∫ 1 x 3 - 1 2 + 1 d x = 7 9 ∫ 1 a 2 + 1 3 d a =

7 3 ∫ 1 a 2 + 1 d a

HAHA! Chagamos a que queríamos :D

7 3 ∫ 1 a 2 + 1 d a = 7 3 arctan ⁡ a + C

Passo 4

Voltando então para a variável original que é o x ...

∫ 7 x 2 - 6 x + 18 d x = 7 3 arctan ⁡ x 3 - 1 + C

Resposta

7 3 arctan ⁡ x - 3 3 + C

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral. ∫ x 3 x - 1 - 4 d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. ∫ d t 2 + t 2
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integral ∫ sec ⁡ x cos ⁡ 2 x s e nx + sec ⁡ x d x