Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

UFRJ - Cálculo 1 - P2 2009.2 - 2a

Calcule as integrais abaixo:

e 3 a r c t g t t 2 + 1 d t

Passo 1

Bem, esse é um caso típico de substituição simples. Salta aos olhos que a derivada de arctg ( t ) é 1 1 + t 2 . Assim sendo, convém utilizarmos a substituição.

Se eu chamar o argumento da função exponencial de u , o termo que vai sobrar na integral é igual à sua derivada, a menos de uma constante. Não tem mistério! Não parece que vai sobrar nenhum termo com t   na integral fazendo essa substituição!

Com a prática, você vai conseguir visualizar melhor. O importante é você estar familiarizado com as integrais imediatas, para ter esse olho de lince na hora de identificar esse tipo de coisa!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Fazendo a substituição:

u = 3   a r c t g   ( t ) d u = 3 1 + t 2 d t

Passo 3

1 3   e u   d u = 1 3 e u + C

A essa altura, scuidado para não se esquecer de adicionar a constante C de integração, heim!

Voltando para t :

e 3 arctg ( t ) t 2 + 1 d t = 1 3 e 3 arctg ( t ) + C

Resposta

e 3 arctg ( t ) t 2 + 1 d t = 1 3 e 3 arctg ( t ) + C

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