Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Calcule a integral:

∫ c o s   π x   x 2 d x

Passo 1

Vamos reescrever essa integral desse modo para ser mais fácil de visualizar:

∫ c o s   π x   x 2 d x = ∫ 1 x 2   c o s   π x     d x

O primeiro passo para aplicar método da substituição simples é identificar, dentro da integral, uma parte que seja a derivada da outra a menos de uma constante. Beleza?!

Observe que temos

1 x 2

multiplicando o cosseno de π x .

A derivada de

π x

É

- π x 2 = π - 1 x 2

Show de bola?!

Desse modo, conseguimos identificar uma parte dentro da integral - 1 x 2 que é a derivada a menos de uma constante de outra parte da integral π x , beleza?!

Passo 2

Agora vamos realizar a substituição utilizando de π x , que chamaremos de u .

Assim,

u = π x

Agora vamos derivar u :

d u = - π x 2 d x

Show de bola?!

Estamos prontos para fazer a substituição de u . Porém, para substituir d u temos que isolar 1 x 2 , pois este é o termo que temos na integral:

1 x 2 d x = - 1 π d u

Passo 3

Retornando à nossa integral, vamos fazer as substituições acima:

∫ 1 x 2   c o s   π x     d x = ∫ - 1 π   c o s   u d u

Podemos tirar as constantes de dentro da integral:

∫ - 1 π   c o s   u d u = - 1 π ∫ c o s u d u

Sabemos que ∫ c o s ( x ) = s e n ( x ) , então:

- 1 π ∫ c o s u d u = - 1 π s e n   u + C

Não podemos esquecer de acrescentar a constante C todas as vezes que trabalharmos com integrais indefinidas!!

Passo 4

Só falta agora substituir o valor de u de volta para x :

- 1 π s e n   u + C = - s e n   π x π + C  

Pronto! Conseguimos resolver a integral pelo método da substituição!!

Resposta

∫ c o s   π x   x 2 d x = - s e n π x   π + C

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