Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Calcule a integral

∫ 18 tan 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x 2 + tan 3 ⁡ x 2 d x

Passo 1

Que monstro né? Relaxa, primeira coisa a perceber é que isso é uma integral indefinida, não vai esquecer a constante C no final hein.

Aparentemente não temos nenhuma substituição clara aí, mas na verdade temos uma ali só é difícil de ver mesmo.

Tem um monte de secante e tangente aí, vamos ver se não da p usar alguma dessas funções trigonométricas para fazer a substituição. Repara que a derivada de tan ⁡ x é sec 2 ⁡ x , que está ali na função, vamos usar essa substituição e fazer o nosso passo a passo.

Passo 2

1. Identificar dentro da integral uma parte que é derivada da outra ou só se diferencia de sua derivada por constantes.

A derivada de tan ⁡ x é sec 2 ⁡ x .

2. Chamar a parte a ser derivada de u .

u = tan ⁡ x

3. Achar a diferencial d u .

d u = sec 2 ⁡ x d x

4. Manipular a expressão de d u para ficar igualzinha a alguma parte da integral, no nosso caso já está igualzinho.

Passo 3

5. Substituir as partes em x por suas correspondentes em u .

∫ 18 tan 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x 2 + tan 3 ⁡ x 2 d x = ∫ 18 u 2 d u 2 + u 3 2

Pera, para tudo!!!!!!

Essa integral está tensa olha o tamanho desse polinômio no denominador.

Repara que a derivada do de baixo é parecida com a função que está em cima, isso nos diz que podíamos ter feito

u = tan 3 ⁡ x

Vamos refazer a substituição agora com isso. Eu podia ter feito essa substituição de primeira, mas queria mostrar a vocês que as vezes o cara cresce e você precisa parar e pensar como melhorar essa substituição que escolheu.

Passo 4

2. Chamar a parte a ser derivada de u .

u = 2 + tan 3 ⁡ x

Vamos por aquele 2 marotamente para embaixo ficar só u 2

3. Achar a diferencial d u (aqui vamos usar a regra da cadeia).

d u = 3 tan 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x d x

4. Manipular a expressão de d u para ficar igualzinha a alguma parte da integral.

Temos

18 tan 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x d x

Então

18 tan 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x d x = 6 d u

Passo 5

5. Substituir as partes em x por suas correspondentes em u .

∫ 18 tan 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x 2 + tan 3 ⁡ x 2 d x = ∫ 6 d u u 2

Olha como agora está mais simpática a integral.

6. Verificar se não sobrou x na integral! Se não sobrou, parabéns! Se sobrou, você errou na substituição, mano, volte atrás!

Nem sobrou. Tá certin.

7. Resolver a integral em u normalmente.

∫ 6 d u u 2 = ∫ 6 u - 2 d u = 6 u - 1 - 1 + C = - 6 u + C

Passo 6

8. Substituir u por sua correspondente em x (“DES-Substituir!”)

u = 2 + tan 3 ⁡ x

∫ 18 tan 2 ⁡ x sec 2 ⁡ x 2 + tan 3 ⁡ x 2 d x = - 6 2 + tan 3 ⁡ x + C

Resposta

- 6 2 + tan 3 ⁡ x + C

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