Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

UFRJ - Cálculo 1 - P2 2014.2 - 1 I c

Calcule as seguintes integrais:

0 1 ln x 2 + 2 x + 1 x + 1 d x

Passo 1

Bom, o pulo do gato dessa integral é você enxergar que aquele termo ali dentro do l n com olhos diferentes. Vê se ele não parece muito com um produto notável do tipo x + a 2 :

x 2 + 2 x + 1 = x + 1 2

Depois de perceber isso, você reescreve a integral que você vai visualizar uma substituição espertinha que pode ser feita ali:

0 1 ln x 2 + 2 x + 1 x + 1 d x =   0 1 ln [ x + 1 2 ] x + 1 d x

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Passo 2

Repara que eu tenho x + 1 2   dentro do   l n e que eu tenho ( x + 1 ) no denominador da função. Repara também que a derivada de x + 1 é igual a 1 ?

Então porque não chamar x + 1 de u ?

Não está parecendo que vai sobrar nenhum termo em x , não é mesmo?

Fazendo a substituição:

u = x + 1 d u = d x

Bem, trata-se de uma integral definida (não, dessa vez você não vai ter que colocar a constante de integração! \o/)

Quando se tem uma integral definida, lembre-se que há duas formas de resolver:

A primeira forma é calcular a integral indefinida e depois usar o Teorema Fundamental do Cálculo para substituir os limites.

E a segunda é já recalcular os limites de integração em função de u . Como é o primeiro exercício de substituição com integral definida que estamos resolvendo, vou fazer dos dois jeitos para te provar que tanto faz.

Eu, particularmente, gosto mais da primeira forma de resolver. Mas isso aí é com você! A gosto do freguês, beleza?

Primeira forma:

Calculando a integral indefinida:

ln [ x + 1 2 ] x + 1 d x = ln [ u 2 ] u d u

Usando as propriedades de logaritmo, podemos descer aquele 2 que tá ali no expoente, né?

ln [ u 2 ] u d u =   2  ln u u d u

Passo 3

E agora? De cara, ainda não sabemos resolver essa integral, mas vamos lembrar que a derivada de ln x   é 1 x ?

Então por que não aplicar uma nova substituição?

A partir daí, se eu me lembrar que a derivada do ln ( x ) é 1 x , olha como uma segunda substituição simplifica tudo:

t = ln ( u ) d t = d u u

2   t   d t

Essa integral é imediata: integral de polinômio!

2   t   d t = 2 t 2 2 = t 2

Repare que eu não coloquei a constante C porque eu vou calcular a integral definida. A integral indefinida foi apenas uma ferramenta para eu calcular a integral definida. Mas ela não é a resposta final. Por isso não me preocupei com a constante.

Nessa primeira forma, antes de usar o Teorema Fundamental do Cálculo, eu tenho que voltar para a variável original, que era x . Como eu fiz duas substituições seguidas, primeiro eu volto para u e depois para x .

Passo 4

Voltando de t   para u :

2  ln u u d u = ln u 2

Voltando agora de u para x :

ln [ x + 1 2 ] x + 1 d x = ln x + 1 2

Passo 5

Agora que tenho a integral indefinida, posso calcular a definida:

ln [ x + 1 2 ] x + 1 d x = ln x + 1 2 = F ( x )

0 1 ln x 2 + 2 x + 1 x + 1 d x = F 1 - F ( 0 )

Isso é equivalente a escrever assim:

0 1 ln x 2 + 2 x + 1 x + 1 d x = ln 2 2 - ln 1 2

Talvez você não lembre, mas ln 1 = 0 !

0 1 ln x 2 + 2 x + 1 x + 1 d x = ln 2 2 = ln 2 2

Passo 6

Segunda forma:

Vamos agora utilizar a segunda forma de resolver:

Fazendo a substituição:

u = x + 1 d u = d x

L i m i t e s :     u i n f e r i o r = 0 + 1 = 1 ;     u s u p e r i o r = 1 + 1 = 2

0 1 ln [ x + 1 2 ] x + 1 d x = 1 2 ln [ u 2 ] u d u = 1 2 2 ln ( u ) u d u

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Passo 7

Fazendo a nova substituição:

t = ln ( u ) d t = d u u

Troco novamente os limites de integração para a nova variável:

L i m i t e s :     t i n f e r i o r = ln 1 = 0 ;     t s u p e r i o r = ln ( 2 )

Observe que nessa forma de resolver, como os limites de integração já estão trocados, eu não preciso voltar para x , posso resolver direto:

1 2 2 ln u u d u = 2 0 ln 2 t   d t = 2 t 2 2 [ ln 2 0

= ln 2 2 - 0 2 = ln 2 2

A resposta deu igual, como era de se esperar!! Mais um indício de que fizemos tudo certinho!

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Resposta

0 1 ln x 2 + 2 x + 1 x + 1 d x = ln 2 2

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