Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Determine a integral indefinida abaixo.

∫ 2 x 2 + 1 x 3 + x d x

Passo 1

Não dá para tirar essa integral por nenhuma primitiva fundamental, da mesma maneira, a derivada do denominador é: x 3 + x = 3 x 2 + 1

E não 2 x 2 + 1 , como está no numerador. Assim, não dá para substituir de cara. O que a gente pode fazer então?

Passo 2

Acabamos de ver que a diferença entre o numerador e a derivada no denominador é x 2 . Se adicionarmos x 2 e removermos x 2 do numerador, dá para chegarmos na derivada e podemos fazer uma substituição. Vamos fazer isso então e separar a integral em duas: ∫ 2 x 2 + 1 x 3 + x d x = ∫ 2 x 2 + x 2 + 1 - x 2 x 3 + x d x = ∫ 3 x 2 + 1 x 3 + x d x - ∫ x 2 d x x 3 + x

Vamos agora tratar cada integral separadamente.

Passo 3

Para a primeira integral, como manipulamos, dá para fazer a substituição:

u = x 3 + x d u = 3 x 2 + 1 d x

Ficando:

∫ 3 x 2 + 1 x 3 + x d x = ∫ d u u = ln ⁡ u + C 1 = ln ⁡ x 3 + x + C 1

Não esqueça que é ln do módulo e que temos que voltar para x ao final.

Passo 4

Agora, para a segunda integral, podemos simplificar um pouco o numerador com o denominador, deixando o x em evidência: - ∫ x 2 d x x 3 + x = - ∫ x ⋅ x d x x x 2 + 1 = - ∫ x x 2 + 1 d x

Veja agora que o numerador tem valor próximo da derivada do denominador. Aqui calhou da substituição ser sempre em cima do denominador, mas isso não é verdade sempre!

x 2 + 1 ' = 2 x

A diferença é que temos x no numerador, ao invés de 2 x como desejado. Mas podemos resolver isso multiplicando e dividindo por 2 :

- ∫ x x 2 + 1 d x = - 2 2 ∫ x x 2 + 1 d x = - 1 2 ∫ 2 x x 2 + 1 d x

Agora sim:

w = x 2 + 1 d w = 2 x d x

Substituindo:

- 1 2 ∫ 2 x x 2 + 1 d x = - 1 2 ∫ d w w = - 1 2 ln ⁡ w + C 2 = - 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 + C 2

Passo 5

Agora juntamos os valores achados, e, considerando C = C 1 + C 2 : ∫ 2 x 2 + 1 x 3 + x d x = ln ⁡ x 3 + x - 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 + C

Caso você tenha ficado intrigado, pois o resultado não está como o gabarito da questão. Dá ainda para dar uma ajeitada nisso aí. Usando b ln ⁡ a = ln ⁡ a b

- 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 = ln ⁡ x 2 + 1 - 1 / 2

Como x 2 + 1 > 0 para todo x . Então x 2 + 1 = x 2 + 1

… = ln ⁡ x 2 + 1 - 1 / 2 = ln ⁡ 1 x 2 + 1

Da mesma forma:

ln ⁡ x 3 + x = ln ⁡ x ⋅ x 2 + 1 = ln ⁡ x ⋅ x 2 + 1 = ln ⁡ x x 2 + 1

Assim:

ln ⁡ x 3 + x - 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 + C = ln ⁡ x x 2 + 1 + ln ⁡ 1 x 2 + 1 + C =

ln ⁡ x ⋅ x 2 + 1 x 2 + 1 = ln ⁡ x x 2 + 1 + C = ln ⁡ x + 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 + C

Como sugere o gabarito. De qualquer forma, você poderia ter parado no primeiro resultado final encontrado, sem a necessidade vir até aqui.

Resposta

∫ 2 x 2 + 1 x 3 + x d x = ln ⁡ x + 1 2 ln ⁡ x 2 + 1 + C

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32. ∫ d t 2 + t 2
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integral ∫ sec ⁡ x cos ⁡ 2 x s e nx + sec ⁡ x d x