Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

UFRJ - Cálculo 1 - P2 2014.2 - 1 II

Determine o valor de R tal que

1 R d x x 3 + x = 1

Passo 1

A gente tem que resolver esse cara aí, em função de R , e igualar a expressão a 1 . Se liga que a integral não é bobinha não. Vai parecer meio aleatório, e é mesmo, mas eu vou pegar esse x 3 e chamar ele de uma outra variável (ele é o termo que parece que me complica a integral, vou ver se consigo melhorá-la se substituir ele e o resto).

u = x 3 d u = d x 3 x 3 2

L i m i t e s : u i n f e r i o r = 1 3 = 1 ;     u s u p e r i o r = R 3

Agora, para substituir esse d x ali eu precisaria deixar ele separado, assim:

d x = 3 x 3 2 d u

Ué, não pode sobrar nenhum x na minha substituição final, correto? Sim, lembra que u = x 3 :

d x = 3 u 2 d u

Só mais uma coisinha se u = x 3 , então podemos elevar ambos os lados ao cubo e obter

x = u 3

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos substituir tudo agora então:

1 R d x x 3 + x = 1 R 3 3 u 2 d u u + u 3 = 3 1 R 3 u 1 + u 2 d u

Repara, essa integral nós sabemos! O termo de cima é um múltiplo da derivada do debaixo. Vou pegar então esse pedaço de baixo e substituir de novo:

t = 1 + u 2 d t = 2 u   d u ,     u   d u = d t 2

L i m i t e s : t i n f e r i o r = 1 + 1 2 = 2 ;     t s u p e r i o r = 1 + R 3 2

3 1 R 3 u 1 + u 2 d u = 3 2 1 + R 3 2 d t 2 t = 3 2 ln t   [ 1 + R 3 2 2

= 3 2 ln 1 + R 3 2 - ln 2 = 3 2 ln 1 + R 3 2 2

Passo 3

Ok, agora que resolvemos precisamos matar o valor de R pela relação lá de cima:

3 2 ln 1 + R 3 2 2 = 1

ln 1 + R 3 2 2 = 2 3 = ln e 2 3

1 + R 3 2 2 = e 2 3

R 3 2 = 2 e 2 3 - 1

R = 2 e 2 3 - 1 3 2

Resposta

R = 2 e 2 3 - 1 3 2

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