Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Resolva a integral definida

∫ 1 e d x x 9 - ln 2 ⁡ x

Passo 1

Eu sei que essa integral assusta bastante no início. Mas repara bem. Temos um l n ali escondido no denominador. E temos também um 1 x .

Opa, lembra que a derivada de ln ⁡ x é 1 x ?

Fazendo a substituição:

u = ln ⁡ x → d u = 1 x d x

Calculando a integral indefinida:

∫ d u 9 - u 2

Passo 2

A integral ainda não está muito simples de resolver, então vamos fazer outra substituição.

Foca na raiz do tipo a 2 - u 2 .

Você concorda que podemos reescrever esse termo da raiz como:

9 - u 2 = 9 1 - u 2 9 = 3   1 - u 3 2

Aí a integral fica assim:

∫ d u 9 - u 2 = ∫ d u 3   1 - u 3 2

Ok, mas o que isso me traz de vantagem?

Acompanha aqui comigo: se eu chamar u 3 de uma nova variável t , olha como fica a carinha dessa integral:

t = u 3 → d t = 1 3 d u

d u = 3   d t

Reescrevendo nossa integral ficamos com,

∫ 3   d t 3 1 - t 2 = ∫ d t 1 - t 2

E agora?

Bom, temos uma integral imediata: 1 1 - t 2 é a derivada de a r c s e n   t

Lembra?

∫   d t 1 - t 2 = arcsen ⁡ t + C

Bom, eu sei que parece meio chutado isso aí e que você deve estar pensando que você nunca ia enxergar essa manipulação e essa substituição a serem feitas, mas confia em mim: com o tempo você vai pegando a manha e, depois de fazer muitos exercícios, inevitavelmente, situações parecidas vão acontecer e você vai começar a identificá-las. Aí você vai poder se considerar craque e tirar a maior onda!

Passo 3

Bom, mas a questão ainda não acabou. Queremos uma integral definida. Achamos a primitiva em t . Mas agora temos que voltar para a variável original, que era x , para então aplicar os limites de integração.

Voltando de t   para u :

∫ d u 9 - u 2 = arcsen ⁡ u 3 + C

Agora voltando agora de u para x :

∫ d x x 9 - ln 2 ⁡ x = arcsen ⁡ ln ⁡ x 3 + C

Repare que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a integral indefinida foi mais uma ferramenta para calcular a integral. O que eu quero é a integral definida, mas estou colocando para ficar mais certinho.

Passo 4

Agora que tenho a integral indefinida, posso calcular a definida:

∫ d x x 9 - ln 2 ⁡ x = arcsen ⁡ ln ⁡ x 3 = F ( x )

∫ 1 e d x x 9 - ln 2 ⁡ x = F e - F ( 1 )

Isso é equivalente a escrever assim:

∫ 1 e d x x 9 - ln 2 ⁡ x = arcsen ⁡ ln ⁡ x 3 e - arcsen ⁡ ln ⁡ x 3 1

∫ 1 e d x x 9 - ln 2 ⁡ x = arcsen ⁡ ln ⁡ e 3 - arcsen ⁡ ln ⁡ 1 3

∫ 1 e d x x 9 - ln 2 ⁡ x = arcsen ⁡ 1 3 - arcsen ⁡ 0

∫ 1 e d x x 9 - ln 2 ⁡ x = arcsen ⁡ 1 3

Resposta

∫ 1 e d x x 9 - ln 2 ⁡ x = arcsen ⁡ 1 3

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Calcule a integral. ∫ x 3 x - 1 - 4 d x
Calcule a integral fazendo a substituição dada. ∫ cos ⁡ 3 x d x , u = 3 x
32. ∫ d t 2 + t 2
Use a fórmula de substituição do Teorema 7 para calcular as integrais nos Exercícios 1-46. ∫ π 3 π / 2 cot 5 ⁡ θ 6 sec 2 ⁡ θ 6 d θ
Calcule a integral ∫ sec ⁡ x cos ⁡ 2 x s e nx + sec ⁡ x d x