Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Enunciado

Questão 1: Calcule as integrais indefinidas abaixo:

b)

∫ tan 2017 ⁡ x sec 4 ⁡ x d x

Passo 1

Poxa! Que tangente maluca! Isso significa que temos que encontrar um meio de resolver essa integral de forma que com certeza não precisamos fazer 2017 interações, ou seja, resolver essa integral por partes está desconsiderado por enquanto!

Bem, nesse caso, como a derivada da tangente é secante ao quadrado, seria um tanto quanto interessante se fizéssemos uma mudança simples do tipo:

tan ⁡ x = a

Passo 2

Com essa mudança o d a ficaria...

d a = sec 2 ⁡ x

Então a integral...

∫ tan 2017 ⁡ x sec 4 ⁡ x d x = ∫ a 2017 sec 2 ⁡ x d a

Se estamos integrando em d a precisamos desaparecer com aquele termo secante dali neh? (que inclusive não é muito legal colocar uma integral com variáveis diferentes, só coloquei pra você entender que ainda está faltando mudar a secante, ok?)

sec 2 ⁡ x = 1 + tan 2 ⁡ x

Como a tangente é a ...

sec 2 ⁡ x = 1 + a 2

∫ tan 2017 ⁡ x sec 4 ⁡ x d x = ∫ a 2017 1 + a 2 d a =

∫ a 2017 + a 2019 d a

Hey! Essa integral sabemos calcular! :D

Passo 3

Aplicando a integral de polinômio normal...

∫ a 2017 + a 2019 d a = a 2018 2018 + a 2020 2020 + C

Voltando agora para a variável original...

∫ tan 2017 ⁡ x sec 4 ⁡ x d x = tan ⁡ x 2018 2018 + tan ⁡ x 2020 2020 + C

Resposta

tan ⁡ x 2018 2018 + tan ⁡ x 2020 2020 + C

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