Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

Elaboração própria

Resolva a integral definida

1 e d x x 9 - ln 2 x

Passo 1

Eu sei que essa integral assusta bastante no início. Mas repara bem. Temos um l n ali escondido no denominador. E temos também um 1 x .

Tá lembrado que a derivada de ln x é 1 x ?

Acredito que, se usarmos essa substituição, não vamos ter problemas com nenhum x sobrando na integral.

Eu sei que o método da substituição simples é um pouco artístico no início, já que você tem que “enxergar” uma parte da integral sendo derivada de outra. Porém, depois, é só seguir os passos. Com treino e prática você passa a “enxergar” melhor.

Além disso, com a prática, você começa a observar certas semelhanças em algumas questões. Por exemplo, esse caso de uma função que tem um ln x e um 1 x é meio clássico.

Mas cuidado: na substituição simples, não pode sobrar termo em x na integral. Nem sempre o método da substituição se aplica. Por isso existem outros métodos de integração.

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Passo 2

Fazendo a substituição:

u = ln x d u = 1 x d x

Eu vou resolver calculando a integral indefinida e depois utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites, beleza?

Calculando a integral indefinida:

d u 9 - u 2

Passo 3

Agora repara bem nessa integral. Temos uma raiz do tipo a 2 - u 2 .

Você concorda que podemos reescrever esse termo da raiz como:

9 - u 2 = 9 1 - u 2 9

E ainda que isso é igual a:

9 1 - u 2 9 = 3   1 - u 3 2

Aí a integral fica assim:

d u 9 - u 2 = d u 3 1 - u 3 2

Ok, mas o que isso me traz de vantagem?

Acompanha aqui comigo: se eu chamar u 3 de uma nova variável t , olha como fica a carinha dessa integral:

t = u 3 d t = 1 3 d u

d u = 3   d t

3   d t 3 1 - t 2 = d t 1 - t 2

E agora?

Bom, temos uma integral imediata: 1 1 - t 2 é a derivada de a r c s e n   t

Lembra?

  d t 1 - t 2 = arcsen t + C

Bom, eu sei que parece meio chutado isso aí e que você deve estar pensando que você nunca ia enxergar essa manipulação e essa substituição a serem feitas, mas confia em mim: com o tempo você vai pegando a manha e, depois de fazer muitos exercícios, inevitavelmente, situações parecidas vão acontecer e você vai começar a identificá-las. Aí você vai poder se considerar craque e tirar a maior onda!

Passo 4

Bom, mas a questão ainda não acabou. Queremos uma integral definida. Achamos a primitiva em t . Mas agora temos que voltar para a variável original, que era x , para então aplicar os limites de integração.

Voltando de t   para u :

d u 9 - u 2 = arcsen u 3 + C

Repare que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a integral indefinida foi mais uma ferramenta para calcular a integral. O que eu quero é a integral definida, mas estou colocando para ficar mais certinho.

Agora voltando agora de u para x :

d x x 9 - ln 2 x = arcsen ln x 3 + C

Passo 5

Agora que tenho a integral indefinida, posso calcular a definida:

d x x 9 - ln 2 x = arcsen ln x 3 = F ( x )

1 e d x x 9 - ln 2 x = F e - F ( 1 )

Isso é equivalente a escrever assim:

1 e d x x 9 - ln 2 x = arcsen ln x 3 e - arcsen ln x 3 1

1 e d x x 9 - ln 2 x = arcsen ln e 3 - arcsen ln 1 3

1 e d x x 9 - ln 2 x = arcsen 1 3 - arcsen 0

1 e d x x 9 - ln 2 x = arcsen 1 3

Resposta

1 e d x x 9 - ln 2 x = arcs en 1 3

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