Exercícios Resolvidos de Substituição Simples

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Exercício 312456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120121122123124125126127128129130131132133134135136137138139140141142143144145146147148149150151152153154155156157158159160161162163164165166167168169170171172173174175176177178179180181182183184185186187188189190191192193194195196197198199200201202203204205206207208209210211212213214215216217218219220221222223224225226227228229230231232233234235236237238239240241242243244245246247248249250251252253254255256257258259260261262263264265266267268269270271272273274275276277278279280281282283284285286287288289290291292293294295296297298299300301302303304305306307308309310311312313314315316317318319320321322323324325326327328329330331332333334335336337338339340341342343344345346347348349350351352353354355356357358359360361362363364365366367368369370371372373374375376377378379380381382383384385386387388389390391392393394395396397398399400401402403404405406407408409410411412413414415416417418419420421422423424425426427428429430431432433434435436437438439440441442443444445446447448449450451452453454455456457458459460461462463464465466467468469470471472473474475476477478479480481482483484485486487488489490491492493494495496497498499500501502503504505506507508509510511512513514515516517518519520521522523524525526527528529530531532533534535536537538539540541542543544545546547548549550551552553554555556557558559560561562563564565566567568569570571572573574575576577578579580581582583584585586587588589590591592593594595596597598599600601602603604605

Enunciado

h   ∫ x 2 5 x - x 2 d x

Passo 1

Então pessoal, algumas vezes a gente não vai conseguir enxergar de cara qual substituição faremos, mas se dermos uma mexidinha na função já fica mais fácil de visualizar.

Colocando x em evidência temos,

x 2 5 x - x 2 = x 2 x 5 - x = x 5 - x

Então a integral fica assim:

∫ x 2 5 x - x 2 d x = ∫ x 5 - x d x

Passo 2

Agora vamos para substituição! A ideia aqui é jogar o “termo mais extenso” ( 5 - x ) para cima.

Repara como podemos fazer isso,

u = 5 - x → d u = - d x    

Repara que podemos chamar x = 5 - u .

∫ x 5 - x d x = ∫ - 5 - u d u u = ∫ - 5 u + u u   d u

Repara que ao substituir na integral ficamos com um “termo mais extenso” 5 - u em cima. Com isso podemos separar a fração em uma soma

∫ - 5 - u d u u = ∫ - 5 u + u u   d u = ∫ - 5 d u u + ∫ 1   d u

= - 5 ln ⁡ u + u

Voltando para variável x :

∫ x 2 5 x - x 2 d x = - 5 ln ⁡ 5 - x + 5 - x

Ajeitando a equação e colocando a nossa constante de integração C (que é um número qualquer), temos:

= - x - 5 ln ⁡ 5 - x + 5 + C

Mas vem cá, você concorda comigo que C + 5 é uma constante também? Já que estamos somando duas constantes. Logo, vamos apenas colocar o C , beleza? Nesse caso, C = C + 5 . Assim:

= - x - 5 ln ⁡ 5 - x + C

Resposta

∫ x 2 5 x - x 2 d x = - x - 5 ln ⁡ 5 - x + C

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