Exercícios Resolvidos de Velocidade e Aceleração Instantânea

CEFET- Lista do Professor Nelson- Questão 8

A aceleração de um corpo com movimento retilíneo é dada por a = - k v 2 , onde k é uma constante positiva. Sabendo-se que, quando t = 0 , x = 0 e v = v 0 , obter a velocidade e a posição como funções do tempo. Obter também v como função de x .

Passo 1

Lembrando que a aceleração é a variação da velocidade no tempo. Portanto, pode ser escrita como a derivada da velocidade em relação ao tempo:

d v d t = a

Substituindo a aceleração teremos:

d v d t = - k v 2

Bem, para extrair a equação da velocidade em função do tempo desta equação, vamos ter que usar algo um pouco diferente do que estamos acostumados a fazer. Esta equação é chamada de equação separável e o que nós vamos fazer é justamente separar o termo d v do termo d t . Pode parecer meio esquisito, mas o importante é que funciona, basta deixar apenas os termos que tem v de um lado e os termos que não tem v do outro.

1 v 2 d v = - k   . d t

Entretanto, essa equação não faz o mínimo sentido! Mas calma, para consertá-la, basta integrar dos dois lados e tudo fica perfeito =)

∫ 1 v 2 d v = ∫ - k   .   d t

Resolvendo as integrais encontramos:

- 1 v + C 1 = - k t + C 2

Podemos criar uma nova constante C = C 2 - C 1 :

- 1 v = - k t + C

Agora vamos utilizar o valor inicial dado no problema. Quanto t = 0 , v = v 0 , portanto:

- 1 v 0 = C

Então ficamos com a equação:

- 1 v = - k t - 1 v 0

Isolando o v (basta inverter a equação e multiplicar por - 1 ):

v t = 1 k t + 1 v 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A velocidade é a variação da posição no tempo. Portanto, pode ser escrita como a derivada da posição em relação ao tempo:

d x d t = v

Substituindo teremos:

d x d t = 1 k t + 1 v 0

Vejam que acabamos caindo na mesma situação do passo anterior, então essa é a hora de ver se você aprendeu mesmo! Vamos lá, tudo que tem x de um lado, e tudo que não tem x do outro:

d x = 1 k t + 1 v 0 d t

Agora, para que isso faça sentido, precisamos integrar de ambos os lados:

∫ d x = ∫ 1 k t + 1 v 0 d t

Pra resolver essa integral é só usar substituição simples.

u = k t + 1 v 0

d u = d t

Daí a integral fica com essa cara.

∫ d x = ∫ 1 u d u

Integrando dos dois lados a gente vai ter:

x + C 1 = ln ⁡ u + C 2

E agora substituímos u = k t + 1 v 0 novamente hehe:

x + C 1 = 1 k ln ⁡ k t + 1 v 0 + C 2

Criando uma nova constante C = C 2 - C 1 :

x t = 1 k ln ⁡ k t + 1 v 0 + C

Usando o dado inicial dado no problema de que quando t = 0 , x = 0 :

C = - 1 k ln ⁡ 1 v 0

C = - 1 k ln ⁡ ( 1 ) - ln ⁡ v 0

C = - 1 k - ln ⁡ v 0

C = 1 k ln ⁡ ( v 0 )

Portanto, substituindo:

x t = 1 k ln ⁡ k t + 1 v 0 + ln ⁡ v 0

x t = 1 k ln ⁡ k t + 1 v 0 v 0

x t = 1 k ln ⁡ v 0 k t + 1

Passo 3

Agora a gente vai partir pra encontrar a velocidade v em função da posição x , e não do tempo.

Para obter v em função de x , precisamos sumir com o tempo da equação da velocidade. Para isso, vamos isolar o tempo na equação da posição:

x t = 1 k ln ⁡ v 0 k t + 1

Vamos chamar x t apenas de x , não se preocupe, isso não altera em nada, é só estética:

k x = ln ⁡ v 0 k t + 1

e k x = v 0 k t + 1

e k x - 1 = v 0 k t

t = e k x - 1 v 0 k

Agora, substituindo o tempo na equação da velocidade, temos:

v t = 1 k t + 1 v 0

v x = 1 k e k x - 1 v 0 k + 1 v 0

v x = 1 e k x - 1 v 0 + 1 v 0

v x = 1 e k x v 0

Enfim temos uma equação compacta para v ( x ) :

v x = v 0 e k x

Resposta

v t = 1 k t + 1 v 0

x t = 1 k ln ⁡ v 0 k t + 1

v x = v 0 e k x

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