Exercícios Resolvidos de Velocidade e Aceleração Instantânea

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 34-18

a Se a posição de uma partícula é dada por x = 20 t - 5 t 3 , onde x está em metros e t em segundos, em que instante ( s ) a velocidade da partícula é zero? b Em que instantes ( s )   a aceleração a   é zero? c   Para que intervalo de tempo ( positivo e negativo ) a aceleração a   é negativa? d Para que intervalo de tempo ( positivo ou negativo )   a aceleração a   é positiva? e Trace os gráficos de x t ,   v t   e   a t .

Passo 1

Essa é uma questão com vários itens mas não precisa entrar em desespero, tudo partirá da equação da posição e usaremos bastante as derivadas por aqui, beleza? Vem comigo que eu te mostro o passo a passo.

a Para descobrir o instante em que a velocidade é zero, primeiro precisamos descobrir a equação da velocidade. Para encontrarmos a equação da velocidade é só a gente derivar a equação da posição.

v t = d x d t

v t = d d t 20 t - 5 t 3 = 20 - 3 × 5 t 2

v t = 20 - 15   t 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Então para descobrir o tempo pra qual a velocidade é zero vamos zerar a velocidade v t = 0

0 = 20 - 15 t 2

20 15 = t 2

t =   ± 1,1547

Ou seja, a velocidade será zero nos tempos t 1 = 1,1547 s e t 2 = - 1,1547 .

Passo 3

b Para descobrir os instantes que a aceleração a   é zero, devemos achar a equação da aceleração, ela é a derivada da velocidade se liga aí:

a t = d v t   d t  

a t = d d t 20 - 15 t 2 - 2 × 15 t

a t = - 30 t  

Passo 4

De novo queremos o tempo quando a aceleração é zero, então faremos a t = 0 .

0 = - 30 t

t = 0   s

Passo 5

c Aceleração é negativa quando

a t < 0

Se tratando de uma função linear não tem muito mistério, vamos substituir e analisar o que rola.

- 30 t < 0

Dividindo os dois lados por - 30 , temos t isolado e a relação fica:

t > 0   s

Para tempos maiores que 0 s a aceleração é negativa.

Se liga, que inverteu-se o sinal da inequação ali em cima!Isso acontece, por que dividimos por um número negativo dos dois lado da inequação

(E sempre que multiplicarmos ou dividirmos uma inequação por um número negativo, é necessário inverter o sinal da inequação!)

Passo 6

d Para a aceleração ser positiva

a t >   0

- 30 t > 0

Seguindo a mesma idéia usada no item c . As acelerações positivas vão ocorrer para os seguintes tempos.

t < 0   s

Ou seja, para tempo menor do que zero, a aceleração será positiva.

Passo 7

e Para traçar o gráfico X × t pegaremos os pontos de máximo e mínimo fazendo a derivada da função igual a zero que nesse caso, pasmem é a velocidade que já calculamos pra esse ponto.

v t = d x d t

Para v = 0 , encontramos os seguintes valores de t lá no passo 2 .

t =   ± 1,1547

Voltando com esses valores de t para a equação da posição temos os valores de máximo e mínimo, começando com o valor positivo.

x t =   20 t -   5 t 3

x 1,1547 = 20 × 1,1547 - 5 × 1,1547 3 = 15,4 m   ( M á x i m o )  

Para o valor negativo temos:

x - 1,1547 = 20 × - 1,1547 - 5 × - 1,1547 3 = - 15,4   ( M í n i m o )

Um outro ponto relevante é a origem e nesse caso podemos substituir t = 0 .

x 0 = 0

Podemos então plotar o gráfico com esse comportamento.

Passo 8

Para fazer o gráfico de v t vamos analisar a equação da velocidade, que é um polinômio de segundo grau

v t = 20 - 15   t 2

Calculamos que essa parábola corta o eixo nos pontos t =   ± 1,1547   , onde avaliamos qual era o tempo de v = 0 .

Para encontrar o ponto de máximo, basta derivar a equação e igualar a zero. Mas se liga a gente já fez isso, lembra que a derivada da velocidade é a aceleração?

d v d t = a t = - 30 t

A gente também avaliou o ponto onde a t = 0 e concluímos que é quando t = 0 , agora vamos pegar esse tempo e substituir na eq. da velocidade.

v 0 = 20 - 15 × 0 2 = 20

Agora é só plotar o gráfico e correr pro abraço:

Passo 9

A equação da aceleração a gente calculou e é essa aqui:

a t = - 30 t  

Descreve uma reta com inclinação negativa. Nós também avaliamos que a aceleração tem valor 0 na origem para t = 0 e portanto temos o seguinte gráfico.

Resposta

a   t = ± 1,1547   s

b   t = 0   s  

c   t > 0   s

d   t < 0   s  

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