Exercícios Resolvidos de Velocidade e Aceleração Instantânea

O movimento de uma partícula é descrito pelo vetor posição:

r → t = A cos ⁡ ( ω t ) i ^ + A sen ⁡ ( ω t ) j ^

Onde A e ω são constantes que valem A = 5   m e ω = 2 π   r a d / s .

a) Determine o módulo de r → t para qualquer instante de tempo, e desenhe um gráfico da trajetória da partícula, ou seja, o caminho que a partícula faz no plano x y .

b) Determine o vetor velocidade v → ( t ) e a aceleração a → ( t ) .

c) Desenhe um gráfico das componentes v x e v y da velocidade da partícula como função do tempo.

d) Desenhe os vetores posição, velocidade e aceleração para t = 1 6   s .

Passo 1

a) Como ele quer o modulo do vetor r → , vamos elevar ao quadrado cada coordenada do vetor dado.

r → = A c o s ω t 2 + A s e n ω t 2

Como sabemos que essa soma e uma constante, podemos tirar da raiz e ver que o modulo não depende das coordenadas.

r → = A

O que isso significa? Que temos um movimento onde a distância da partícula a origem é constante no tempo, portanto, é um movimento circular!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Para achar o vetor da velocidade, basta derivarmos em relação ao tempo a expressão do vetor r →  

v → = - A ω s e n ω t i ^ + A ω c o s ω t j ^

Passo 3

Para encontrar o vetor da aceleração, basta fazer a mesma coisa, mas agora com o vetor da velocidade:

a → = - A ω 2 cos ⁡ ω t i ^ - A ω 2 s e n ω t j ^

Passo 4

c) Para encontrarmos os gráficos das componentes do vetor velocidade, basta observarmos que uma tem uma função seno e a outra a função cosseno. Então, os gráficos serão bem parecidos com os gráficos das funções seno e cosseno, que já estamos acostumados, que são aquelas “ondinhas”. Aí podemos ir atribuindo alguns valores. Por exemplo, para a componente na direção x:   v x = - A ω s e n ω t , vamos substituir os valores de A e ω :

v x = - 5 ⋅ 2 π s e n 2 π t

Para t = 0 , temos v x = 0 , pois sen ⁡ 0 = 0 .

Para t = 1 4 , temos v x = - 5 ⋅ 2 π ≅ - 31,5

Para t = 1 2 , temos v x = 0

E assim, por diante. Aí podemos fazer o gráfico.

Seguindo o mesmo raciocínio para a componente y, temos:

Passo 5

d) Dado que a velocidade angular ω é constante, temos que as velocidades nos eixos x e y constituem uma senoide negativa e uma cossenoide, respectivamente, com amplitude igual a A ω . Logo:

Passo 6

e) Substituindo o valor de t = 1 / 6 e os valores de A e ω :

r → = 5 cos ⁡ π 3 i ^ + 5 s e n π 3 j ^

v → = - 10 π   s e n π 3 i ^ + 10 π cos ⁡ π 3 j ^

a → = - 20 π 2 cos ⁡ π 3 i ^ - 20 π 2 s e n π 3 j ^

Esboçando:

Resposta

a) r → = A

b)

v → = - A ω s e n ω t i ^ + A ω c o s ω t j ^

a → = - A ω 2 cos ⁡ ω t i ^ - A ω 2 s e n ω t j ^

c) componente x:

Componente y:

d)

e)

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