Exercícios Resolvidos de Velocidade e Aceleração Instantânea

David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker, Fundamentos de Física, volume 1 , 8º ed. Rio de Janeiro: LTC , 2008, pp 34-16

A posição de um elétron que se move ao longo do eixo x   é dada por x = 16 t e - t   m , onde t   está em segundos. A que distância está o elétron da origem quando para momentaneamente?

Passo 1

Parar momentaneamente é o mesmo que dizer que a velocidade instantânea é igual a zero. Assim, para achar a distância que ele tem velocidade zero, devemos achar o instante t   que a velocidade é zero.

Então, tendo esse instante t , substituímos na função posição x t para descobrir a posição correspondente àquele momento.

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Passo 2

Vamos achar o instante t , onde a velocidade é zero.

Como a velocidade é a variação da posição, basta derivar essa expressão da posição:

v t = d x d t

v t = 16 t e - t '

Para derivar esse cara, temos que usar a regra do produto entre o termo “ t ” e o termo “ e - t ”, lembrando que o “ 16 ” é uma constante multiplicando e por isso ela fica igualzinha:

v t = 16 t . e - t '

v t = 16 t ' e - t + t e - t '

As derivadas serão as seguintes...

A derivada de t é:

t ' = 1

Já a derivada de e - t é a derivada de uma exponencial, ou seja, a sua derivada é ela mesma. Não podemos confundir com a derivada de um polinômio t 3 , por exemplo.

Mas, além disso, precisamos usar uma regra da cadeia com o expoente, então temos:

e - t ' = e - t - t '

e - t ' = e - t - 1

e - t ' = - e - t

Substituindo essas duas derivadas na nossa expressão, temos:

v t = 16 t ' e - t + t e - t '

v t = 16 1 e - t + t - e - t

v t = 16 e - t - 16 t e - t

Beleza, achamos uma expressão para a velocidade em função do tempo.

Passo 3

Agora, vamos achar o instante onde essa velocidade zera:

v t = 0

16 e - t - 16 t e - t = 0

16 e - t = 16 t e - t

Cortando o “ 16 ” e o “ e - t ”, temos:

1 = t

t = 1   s

Achamos o instante.

Passo 4

Substituindo na equação da posição, t = 1   s , vamos achar a posição onde o elétron se encontra quando v t = 0

x 1 = 16 ( 1 ) e - 1

x 1 = 5,886   m  

Resposta

x 1 = 5,886   m

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