Exercícios Resolvidos de Densidade de Cargas

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Enunciado

Um anel circular, fino, de raio R , está disposto no plano X Y , com centro na origem. Nele, há uma densidade linear de carga λ θ = λ 0 sen ⁡ θ , onde θ é o tradicional ângulo polar e λ 0 é uma constante. Qual é a carga total de tal anel?

  1. 0
  2. λ 0 R
  3. π λ 0 R 2
  4. 2 π λ 0 R
  5. 4 λ 0 R

Passo 1

Achara a carga total é igual à integrar a densidade em todo o corpo: λ = d q d l → d q = λ d l

Q total = ∫ anel   λ d l

Passo 2

Utilizando coordenadas polares e substituindo os valores das paradas:

Q total = ∫ 0 2 π λ 0 sen ⁡ θ d l

Em coordenadas polares:

d l = R   d θ

Q total = λ 0 R ∫ 0 2 π sen ⁡ θ d θ

Passo 3

Como a densidade linear de carga depende do módulo do seno do ângulo, devemos separar a integral em duas, pois sen ⁡ ( θ ) > 0 para 0 < θ < π , e sen ⁡ ( θ ) < 0 para π < θ < 2 π . Separando a integral:

Q total = λ 0 R ∫ 0 2 π sen ⁡ θ d θ

Q total = λ 0 R ∫ 0 π sen ⁡ θ d θ + ∫ π 2 π - sen ⁡ θ d θ

Resolvendo a bandida:

Q total = λ 0 R - cos ⁡ θ 0 π + cos ⁡ θ π 2 π

Q total = λ 0 R - cos ⁡ π - cos ⁡ 0 + cos ⁡ 2 π - cos ⁡ π

Tomando cuidado pra não se ferrar com os sinais:

Q total = λ 0 R - - 1 - 1 + 1 - - 1

Q total = λ 0 R 2 + 2

Q total = 4 λ 0 R

Resposta

Letra e

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