Exercícios Resolvidos de Densidade de Cargas

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Enunciado

Seja uma esfera de raio R e densidade de cargas dada pela expressão

ρ r = k 0 r 2

Calcule a carga total na esfera.

Passo 1

Podemos calcular a carga total integrando em toda a esfera as cargas pontuais d q :

Q total = ∫ esfera   d q

O que corresponde à integrar no seguinte domínio (utilizando coordenadas polares):

Q total = ∫ 0 R d q

Passo 2

Podemos trocar o diferencial de carga por um diferencial de espaço utilizando a definição da densidade:

ρ = d q d V

d q = ρ d V

Substituindo:

Q total = ∫ 0 R ρ d V

Plugando a fórmula da densidade que vem do enunciado:

Q t o t a l = ∫ 0 R k 0 r 2 d V

Passo 3

Agora vamos expressar nosso diferencial de volume em função das coordenadas polares que estamos usando. Seja V o volume de uma esfera de raio r arbitrário. Desse fato segue que:

V = 4 3 π r 3

d V = 4 π r 2   d r

Portanto podemos substituir na fórmula:

Q total = ∫ 0 R k 0 r 2 × 4 π r 2 d r

Q total = 4 π k 0 ∫ 0 R d r

Q total = 4 π k 0 R

Fim de papo.

Resposta

Q total = 4 π k 0 R

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