Exercícios Resolvidos de Densidade de Cargas

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Enunciado

Duas placas isolantes muito grandes e de espessura desprezível são colocadas paralelamente uma em relação a outra, como mostrado na Figura 1. Na placa à direita, há uma distribuição superficial uniforme de cargas positiva. Na placa à esquerda, a distribuição de cargas é também uniforme, porém de densidade superficial igual e oposta à da direita. A distância entre as placas vale d e existe o vácuo entre as duas. Tomando a placa à esquerda (na posição x   =   0 ) como o referencial para o potencial ( V = 0 ) , mede-se que, sobre a placa à direita ( x   =   d ) , o potencial tem valor   V 0 .

a) Calcule a densidade superficial de cargas, σ , da placa isolante positiva em função de V 0 .

b) O sinal de V 0 é positivo ou negativo? Justifique.

Suponha agora que uma placa condutora neutra de espessura d / 2 seja colocada na região entre as duas placas isolantes, como mostrado na Figura 2. Nesta nova configuração:

c) Calcule os valores do potencial em   x   =   0 ,   x   = d 4 ,   x   = 3 d 4   e   x   =   d e faça um gráfico do potencial V ( x ) em função da distância para 0   <   x   <   d .

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vou ajudar você a resolver essa questão! Vamos lá?

Letra (a):

Vamos começar calculando o campo elétrico.

O campo elétrico devido a uma placa isolante infinita é:

E → = σ 2 ϵ 0

Para 0 < x < d temos:

E + → = + σ 2 ϵ 0 - x ^ ; E - → = - σ 2 ϵ 0 ( x ^ )

E t → = - σ ϵ 0 ( x ^ )

E agora podemos através da definição integral de potencial, achar V :

  V d - V 0 = - ∫ 0 d E → ⋅ d x → = + ∫ 0 d σ ϵ 0 d x = σ d ϵ 0

Sabemos que V 0 = 0 , então:

V d = σ d ϵ 0 = V 0

E agora por fim, isolamos σ :

σ = V 0 ϵ 0 d

Passo 2

Letra (b):

Como σ > 0 por definição no problema, V 0 > 0 . E, claramente o potencial cai à medida que se afasta da placa positiva, e consequentemente aumenta ao se aproximar da negativa.

Como V 0 = 0 , V d = V 0 > 0 .

Tranquilo? Vamos para o último item?

Passo 3

Letra (c):

Dentro da placa condutora, E → = 0 . Assim o condutor distribui suas cargas para cumprir essa condição. Na região entre as placas o potencial cresce linearmente. Na região dentro do condutor o potencial é constante.

V 0 = 0

V d 4 - V 0 = V d 4 = - ∫ 0 d / 4 σ ϵ 0 d x = d σ 4 ϵ 0

Dentro:

V 3 4 d = d σ 4 ϵ 0

Fora:

V d - V 3 d 4 = - ∫ 3 4 d d σ ϵ 0 d x = σ ϵ 0 d - 3 4 d = d σ 4 ϵ 0

Então V d é:

V d = d σ 4 ϵ 0 + V 3 d 4 = d σ 2 ϵ 0

E em um gráfico fica assim:

Beleza?

Pronto pra próxima questão? =)

Resposta

a ) σ = V 0 ϵ 0 d

b ) Como V 0 = 0 , V d = V 0 > 0 .

c ) V 0 = 0

V d 4 = d σ 4 ϵ 0

V 3 4 d = d σ 4 ϵ 0

V d = d σ 2 ϵ 0

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