Exercícios Resolvidos de Densidade de Cargas

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Enunciado

Uma barra isolante fina, de comprimento L , é posicionada sobre o eixo x , de um sistema de coordenadas com o seu centro sobre a origem. Ela possui uma densidade linear de carga dada por λ x = λ 0 x / L , onde λ 0 é uma constante positiva. Qual é a carga total dessa barra?

  1. λ 0 L / 2
  2. λ 0 L 2 / 2
  3. λ 0 L
  4. 0
  5. λ 0 L 2

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vou ajudar você a resolver essa questão! Vamos lá?

Aqui temos que integrar em todo comprimento da barra.

O diferencial de carga é:

d q = λ x d x

Lembrando que o centro da barra é na origem iremos integrar λ x de - L 2 a L 2 .

A carga total será:

Q = ∫ - L 2 L 2 λ 0 x L d x

Agora é só fazer a integração!

Passo 2

Vamos lembrar que o módulo de uma função assume os seguintes valores:

x = x ,   s e   x ≥ 0 - x ,   s e   x < 0

Daí temos:

Q = ∫ - L 2 L 2 λ 0 x L d x = λ 0 L ∫ 0 L 2 x d x + ∫ - L 2 0 - x d x

Q = λ 0 L x 2 2 0 L 2 - - x 2 2 - L 2 0

Agora aplicando os limites:

Q = λ 0 L L 2 8 - 0 - 0 - L ² 8

Q = λ 0 L L 2 4

Q = λ 0 L 4

Uéééé... Mas não deu nenhuma opção, né...

Mas a resolução ta certinha, viu? Possivelmente tentaram reaproveitar algum enunciado ou alternativas e esqueceram de ajustar alguma coisa. =/

Mas desanima não... Bora pra próxima??

Resposta

Q = λ 0 L 4

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