Exercícios Resolvidos de Densidade de Cargas

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Enunciado

A Figura abaixo mostra uma semicircunferência de raio a com uma carga positiva Q distribuída conforme a seguinte densidade linear λ θ = λ 0 s e n ( θ ) , com λ 0 sendo uma constante. Nessas circunstâncias, qual é a carga total da semicircunferência?

Passo 1

Para encontrarmos o valor da carga total Q t o t a l , precisamos resolver a seguinte integral:

Q t o t a l = ∫ 0 π λ ( θ ) d l   .

Como mostramos na Figura acima, o elemento de comprimento d l é dado por d l = a d θ . Se substituímos isso na integral juntamente com λ θ = λ 0 s e n ( θ ) , ficamos com

Q t o t a l = λ 0 a ∫ 0 π s e n θ d θ = - λ 0 a cos ⁡ π - cos ⁡ 0 .

Disso, vamos chegar à seguinte expressão para a carga total

Q t o t a l = 2 λ 0 a   .

Resposta

Q t o t a l = 2 λ 0 a   .

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