Exercícios Resolvidos de Densidade de Cargas

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Enunciado

Temos três distribuições não homogêneas de carga: I1) uma distribuição linear num fio de comprimento R , cuja densidade linear de carga é: λ x = α 1 x ( 0 ≤ x ≤ R ); (2) Uma distribuição superficial sobre um disco de raio R , cuja densidade superficial é: σ r = α 2 r ( 0 ≤ r ≤ R ); (3) Uma distribuição volumétrica numa esfera de raio R , cuja densidade volumétrica é: ρ r = α 3 r ( 0 ≤ r ≤ R ). Aqui, α i ( i = 1 , 2 , 3 ) são constantes. A carga total de cada uma dessas três distribuições é a mesma, Q . Qual das alternativas é a correta?

  1. α 1 = 2 Q R 2 ; α 2 = 3 Q 2 π R 3 ; α 3 = Q π R 4
  2. α 1 = Q 2 R 2 ; α 2 = Q 6 π R 3 ; α 3 = Q 16 π R 4
  3. α 1 = 2 Q R 2 ; α 2 = Q 6 π R 3 ; α 3 = Q 16 π R 4
  4. α 1 = 2 Q R 2 ; α 2 = 3 Q 2 2 π R 3 ; α 3 = Q 3 π R 4
  5. α 1 = Q 2 R 2 ; α 2 = Q 2 6 π R 3 ; α 3 = Q 3 16 π R 4
  6. α 1 = Q R ; α 2 = Q π R 2 ; α 3 = Q 4 π R 3 3

Passo 1

Se a carga total é a mesma e temos as densidades, vamos integrar. Para o fio:

λ x = d q d x → d q = λ x d x

Q = ∫ 0 R λ x d x

Passo 2

Para o disco:

σ r = d q d A → d q = σ r d A

Q = ∫ 0 R σ r d A

Passo 3

Para a esfera:

ρ r = d q d V → d q = ρ r d V

Q = ∫ 0 R ρ r d V

Passo 4

Lembrando de calcular corretamente cada diferencial:

A = π r 2 → d A = 2 π r   d r

V = 4 3 π r 3 → d V = 4 π r 2   d r

Passo 5

O primeiro fica:

Q = ∫ 0 R α 1 x d x

Q = α 1 R 2 2

α 1 = 2 Q R 2

Passo 6

O segundo:

Q = ∫ 0 R α 2 r   ( 2 π r   d r )

Q = 2 π α 2 ∫ 0 R r 2 d r

Q = 2 3 π α 2 R 3

α 2 = 3 Q 2 π R 3

Passo 7

O terceiro, por sua vez:

Q = ∫ 0 R α 3 r   ( 4 π r 2   d r )

Q = 4 π α 3 ∫ 0 R r 3 d r

Q = π α 3 R 4

α 3 = Q π R 4

Fim de papo.

Resposta

Letra a

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