Exercícios Resolvidos de Densidade de Cargas

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Enunciado

Um átomo de hidrogênio é constituído por um próton com carga + Q = 1,60   ×   10 - 19   C e um elétron com carga – Q = - 1,6   ×   10 - 19   C . Podemos considerar o próton como uma carga puntiforme situada em r = 0 , o centro do átomo. O movimento do elétron faz com que sua carga seja ‘espalhada’ ao longo de uma distribuição esférica em torno do próton, de modo que o elétron seja equivalente a uma carga por unidade de volume dada por

ρ r = - Q π a 0 3 e - 2 r a 0     ,

em que a 0 = 5,29   ×   10 - 11   m é chamado de raio de Bohr.

  1. Calcule a carga total do átomo de hidrogênio contida em uma esfera de raio r centralizada sobre o próton;
  2. Como fica a carga quando r → ∞ ? Explique o resultado obtido nesse limite.

Passo 1

Neste exercício, temos basicamente o que está representado na Figura a) abaixo. O próton, com carga positiva + Q localizado na origem e a carga do elétron distribuída ao longo de uma esfera de raio r com uma densidade de cargas ρ ( r ) com comportamento exponencial.

A carga total Q t o t a l ( r ) da Figura a) é dada por

Q t o t a l r = Q + Q r ,

sendo que Q r < 0 é a carga ‘espalhada’ do elétron dentro da esfera de raio r , que é negativa. Para obtermos a carga total, primeiro vamos calcular a carga Q ( r ) do elétron...

Passo 2

a) Para calcularmos Q ( r ) , vamos utilizar a Figura b), que mostra um volume d V ' = 4 π r ' 2 d r ’. Incluindo esse elemento de volume e a densidade volumétrica ρ ( r ) dada, temos que a carga total Q ( r ) é dada por

Q r = ∫ 0 r ρ r ' d V ' = - 4 Q a 0 3 ∫ 0 r r ' 2 e - 2 r ' a 0 d r '   .    

Como você faz lá no cálculo frequentemente, poderíamos utilizar a integral por partes duas vezes na integral acima e obter o resultado. Aqui, para a gente avançar mais rápido, vou te mostrar o resultado de integrais desse tipo:

∫ x 2 e - k x d x = e - k x - 2 k 3 - 2 x k 2 - x 2 k + C   ,

em que C é uma constante de integração. Aplicando esse resultado em Q ( r ) e substituindo os limites de integração, você vai chegar no seguinte:

Q r = - 4 Q a 0 3 a 0 3 4 + e - 2 r a 0 - a 0 3 4 - r a 0 2 2 - r 2 a 0 2     .

Somando esse resultando com a carga do próton, a carga total Q t o t a l r = Q + Q ( r ) será

Q t o t a l r = 4 Q a 0 3   e - 2 r a 0 a 0 3 4 + r a 0 2 2 + r 2 a 0 2   .

Podemos simplicar um pouco mais para obter que:

Q t o t a l r = Q e - 2 r a 0 1 + 2 r a 0 + 2 r 2 a 0 2   .

Passo 3

b) No limite de r → ∞ , como a função exponencial vai a zero mais rapidamente do que as funções de r dentro dos parênteses vão para infinito, então, teremos que:

Q t o t a l r → ∞ = 0     .

Esse é um resultado esperado, pois se a gente integra sobre todo o espaço, carga total será

Q t o t a l r → ∞ = + Q - Q = 0   ,

que é exatamente a soma das cargas do próton e do elétron, fazendo com que o átomo de hidrogênio seja neutro.

Resposta

  1. Q t o t a l r = Q e - 2 r a 0 1 + 2 r a 0 + 2 r 2 a 0 2 ;
  2. Q t o t a l r → ∞ = 0   , pois o átomo de hidrogênio como um todo é neutro.

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