Exercícios Resolvidos de Densidade de Cargas

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Enunciado

Dois cilindros metálicos, concêntricos, infinitamente longos e de raios a e b ( a < b ) atuam como placas de um capacitor cilíndrico. Considerando que há vácuo entre as placas, e que as placas interna e externa possuem densidade linear de carga + λ e - λ , respectivamente, calcule:

b )   A diferença de potencial entre as placas.

Passo 1

Olá pessoal, como estão as coisas por aí?

Nessa questão temos um capacitor formado por cilindros metálicos, que possuem o mesmo eixo, mas um deles é interno ao outro. O menor possui raio a e o maior possui raio b . Juntos, eles atuam como um capacitor cilíndrico, onde a placa interna tem densidade linear de carga + λ e o externo - λ .

No item anterior, usando a Lei de Gauss, encontramos que o campo elétrico na região entre as duas placas vale:

E = λ 2 π r ε 0 ,             a < r < b

Nesse item, precisamos calcular a diferença de potencial entre as placas ( U ).

Vocês lembram da definição de potencial? Bora dar uma revisada:

U = ∫ a b E → ⋅ d l →

Massa! Então, como já sabemos o valor do campo elétrico, vamos usar essa equação pra calcular a diferença de potencial 😊

Vem comigo!!

Passo 2

Temos que a diferença de potencial entre as placas vale:

U = ∫ a b E → ⋅ d l →

Como o campo elétrico e o vetor deslocamento apontam na mesma direção, vamos ter:

U = ∫ a b E d l

Assim, trocando d l por d r já que ambos representam o vetor deslocamento:

U = ∫ a b λ 2 π r ε 0 d r

Colocando as constantes pra fora da integral:

U = λ 2 π ε 0 ⋅ ∫ a b 1 r d r

= λ 2 π ε 0 ⋅ l n ⁡ ( r ) a b

Portanto:

U = λ 2 π ε 0 ⋅ ln ⁡ b - ln ⁡ a

⇒ U = λ 2 π ε 0 ⋅ ln ⁡ b a

Prontinho, galera! Encontramos a diferença de potencial entre as placas cilíndricas do nosso capacitor!

Obrigado pela atenção e até a próxima 😉

Tchauzinhooo!!

Resposta

U = λ 2 π ε 0 ⋅ ln ⁡ b a

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