Exercícios Resolvidos de Densidade de Cargas

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Enunciado

Observe a figura abaixo:

Dado que esse anel tem raio a , digamos que a densidade de carga linear dele seja:

λ = λ 0 sen ⁡ ( θ )

Onde θ é o ângulo trigonométrico, medido à partir do eixo O x no sentido anti-horário e λ 0 é uma constante arbitrária. A questão é: qual a carga total do anel?

Passo 1

A densidade de carga linear não significa que vamos estar sempre integrando em uma barra reta. Linear significa somente que estamos integrando em uma dimensão só.

Bom, o início do esquema é sempre o mesmo:

λ = d q d l → d q = λ   d l

Agora integramos em todo o anel:

Q total = ∫ Anel   λ   d l

Show. A função λ θ nós temos, agora falta identificar esse d l e o nosso domínio de integração, que ainda está meio misterioso.

Passo 2

Estamos usando um sistema de coordenadas cartesianas, quem deve ser o nosso d l ? Seria d x ou d y ? Ou nenhum dos dois? Só conseguimos responder isso se entendermos o que de fato é o diferencial de comprimento d l : ele é um pedaço infinitesimal do anel.

Ou seja, não pode ser nem d x nem d y . O único jeito de tratar esse comprimento infinitesimal é com coordenadas polares:

Agora sim, podemos então escrever:

d l = a   d θ

Passo 3

E em função de θ nós sabemos escrever nosso domínio de integração. Portanto:

Q total = ∫ 0 2 π λ 0 sen ⁡ θ a   d θ

Q total = a λ 0 ∫ 0 2 π sen ⁡ θ d θ = a λ 0 - cos ⁡ θ θ = 0 θ = 2 π = a λ 0 1 - 1

Logo:

Q total = a λ 0 × 0

Q total = 0

A carga total deu zero, sendo que ela não é nula em todos os pontos. Pode isso, produção? Claro que pode, ora. Basta que a quantidade de cargas positivas seja igual à quantidade de cargas negativas. Que é exatamente o que acontece. Como podemos observar pela característica da função seno:

sen ⁡ θ > 0 → θ ∈ 0 , π

sen ⁡ θ < 0 → θ ∈ π , 2 π

Podemos perceber que a carga total vai dar zero.

Isso encerra como calcular a carga de barras curvas circulares, é só trocar para coordenadas polares.

Resposta

Q total = 0

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