Exercícios Resolvidos de Densidade de Cargas

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Enunciado

Um disco de raio b de espessura desprezível tem um furo circular em seu centro. Dado que o raio do furo é a e o disco possui densidade de carga superficial igual a:

σ = C r 2 ,     r > 0

Com C tendo unidades de carga. Calcule a carga total do disco.

Passo 1

Desenhando o que foi descrito temos:

Passo 2

Como queremos a carga total, utilizamos a definição da densidade superficial:

σ = d q d A → d q = σ d A

E trocamos o diferencial de área por sua expressão em coordenadas polares. Uma dica para os impacientes (tipo eu): calcule o diferencial com calma. A expressão para a área do círculo você conhece:

A = π r 2

Derivando:

d A = 2 π r   d r

E assim evitamos erros crassos, como o que eu acabei de cometer resolvendo essa questão haha.

Passo 3

Integrando em todo o disco:

Q total = ∫ a b σ d A

Segue que:

Q total = ∫ a b C r 2 ⋅ 2 π r   d r

Puxando o 2 π C pra fora e arrumando:

Q total   = 2 π C ∫ a b d r r

Finalmente fazemos a conta da integral:

Q total = 2 π C ln ⁡ r a b

Q total = 2 π C ln ⁡ b - ln ⁡ a

Arrumando novamente:

Q total = 2 π C ln ⁡ b a

Resposta

Q total = 2 π C ln ⁡ b a

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