Exercícios Resolvidos de Densidade de Cargas

Ver Teoria

Enunciado

Uma esfera centrada na origem tem raio R e a seguinte distribuição de cargas em seu volume:

ρ = A r 2

Onde A é uma constante negativa. Calcule a carga contida no interior de uma superfície esférica imaginária centrada na origem com raio R 0 , se:

  1. R 0 ≥ R
  2. R 0 < R

Passo 1

Desenhando o primeiro caso chegamos à seguinte figura:

No caso a superfície esférica imaginária está representada somente em corte e com uma linha pontilhada. Não sou sinistro no PowerPoint que nem o Brunão da Física IV.

Passo 2

Do desenho podemos observar que toda a carga que está contida dentro da superfície imaginária é a carga total da esfera, portanto resolvemos o item a assim:

Q i n t = Q t o t a l

Q i n t = ∫ 0 R d q

Trocando o diferencial de carga utilizando a definição da densidade:

ρ = d q d V → d q = ρ d V

E trocando o diferencial de volume por seu correspondente em coordenadas polares:

d V = 4 π r 2   d r

Podemos substituir na fórmula e fazer a conta.

Passo 3

Substituindo:

Q i n t = ∫ 0 R A r 2 × 4 π r 2   d r

Arrumando:

Q i n t = 4 π A ∫ 0 R r 4 d r

E finalmente calculamos:

Q i n t = 4 π A R 5 5

Item a respondido!

Passo 4

Agora precisamos desenhar a situação do item b :

Perfeito. Podemos ver que a carga encerrada no interior da superfície esférica imaginária não é igual à carga total da esfera, e sim um valor menor em módulo.

Como resolver? Somamos apenas os elementos infinitesimais de carga no interior da superfície imaginária:

Q i n t = ∫ 0 R 0 d q

Pela mesma lógica de antes, substituímos os dados:

Q i n t = 4 π A ∫ 0 R 0 r 4 d r

E obtemos o resultado:

Q i n t = 4 π A R 0 5 5

E acabou.

Resposta

  1. Q i n t = 4 π A R 5 5

Q i n t = 4 π A R 0 5 5

Exercícios de Livros Relacionados

Uma fina casca esférica não condutora, uniformemente carregada, com raio R , tem uma carga total positiva igual a Q ; Um pequeno pedaço é removido da superfície. (a) Quais são o módulo, a direção e o
Duas placas metálicas quadradas idênticas têm, cada uma, área de 500c m 2 . Elas são separadas por 1,50c m e estão, ambas, inicialmente descarregadas. A seguir, uma carga de + 1,50n C é transferida da
Uma lâmina plana infinita não condutora tem uma densidade superficial de carga + 3,00μ C / m 2 e está no plano y = - 0,600m . Uma segunda lâmina plana infinita tem densidade superficial de carga de -
O pequeno segmento de fio na FIGURA Q27.4 contém 10n C de carga. a. O segmento é reduzido a um terço do comprimento original. Qual é a razão λ f / λ i , onde λ i e λ f são as densidades de carga inici
Um disco circular está carregado e sua uma densidade superficial de carga vale 8n C / c m ² ² . Qual será a densidade superficial de carga se o raio do disco for dobrado?