Exercícios Resolvidos de Densidade de Cargas

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Enunciado

Uma esfera centrada na origem tem raio R e a seguinte distribuição de cargas em seu volume:

ρ = A r 2

Onde A é uma constante negativa. Calcule a carga contida no interior de uma superfície esférica imaginária centrada na origem com raio R 0 , se:

  1. R 0 ≥ R
  2. R 0 < R

Passo 1

Desenhando o primeiro caso chegamos à seguinte figura:

No caso a superfície esférica imaginária está representada somente em corte e com uma linha pontilhada. Não sou sinistro no PowerPoint que nem o Brunão da Física IV.

Passo 2

Do desenho podemos observar que toda a carga que está contida dentro da superfície imaginária é a carga total da esfera, portanto resolvemos o item a assim:

Q i n t = Q t o t a l

Q i n t = ∫ 0 R d q

Trocando o diferencial de carga utilizando a definição da densidade:

ρ = d q d V → d q = ρ d V

E trocando o diferencial de volume por seu correspondente em coordenadas polares:

d V = 4 π r 2   d r

Podemos substituir na fórmula e fazer a conta.

Passo 3

Substituindo:

Q i n t = ∫ 0 R A r 2 × 4 π r 2   d r

Arrumando:

Q i n t = 4 π A ∫ 0 R r 4 d r

E finalmente calculamos:

Q i n t = 4 π A R 5 5

Item a respondido!

Passo 4

Agora precisamos desenhar a situação do item b :

Perfeito. Podemos ver que a carga encerrada no interior da superfície esférica imaginária não é igual à carga total da esfera, e sim um valor menor em módulo.

Como resolver? Somamos apenas os elementos infinitesimais de carga no interior da superfície imaginária:

Q i n t = ∫ 0 R 0 d q

Pela mesma lógica de antes, substituímos os dados:

Q i n t = 4 π A ∫ 0 R 0 r 4 d r

E obtemos o resultado:

Q i n t = 4 π A R 0 5 5

E acabou.

Resposta

  1. Q i n t = 4 π A R 5 5

Q i n t = 4 π A R 0 5 5

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