Exercícios Resolvidos de Densidade de Cargas

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Enunciado

15ª questão - Uma esfera de borracha carregada homogeneamente com uma carga Q > 0 está na cavidade interior de uma esfera condutora oca. Os centros de ambas coincidem, como esquematizado ao lado. O gráfico abaixo mostra o módulo do campo elétrico da configuração ao longo de uma linha radial (os pontilhados servem apenas como referência). Sobre essa situação, indique a afirmativa FALSA:

A) Uma vez que o campo elétrico não se anula para r > 1   m , a esfera condutora deve estar carregada.

B) O raio da esfera de borracha é 50   c m .

C) O raio interno da esfera condutora vale 75   c m .

D) A carga da esfera de borracha em Coulombs é π ϵ 0 .

E) A superfície externa da esfera condutora possui uma densidade superficial de carga igual a ϵ 0 / 4   C / m 2 .

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nessa questão, temos uma esfera de borracha, ou seja, não condutora, que está dentro de uma esfera condutora oca sendo que ambas as esferas são concêntricas, como podemos ver na figura

Além disso, temos a informação de um gráfico que mostra o modulo do campo elétrico E em função da distância radial r do centro das esferas.

A partir dessas informações, temos que julgar algumas afirmações e assinalar qual é a falsa.

Vamos analisar uma a uma e ver qual é!

Bora lá! 😉

Passo 2

Na afirmação A) é dito que uma vez que o campo elétrico não se anula para r > 1   m , a esfera condutora deve estar carregada.

Essa informação não é verdade, perceba que se não estivesse a esfera oca, o gráfico seguiria a linha pontilhada e para r > 1   m o campo elétrico E seria o mesmo que foi dado pelo gráfico, portanto a esfera oca está descarregada (número de cargas positivas é igual ao número de cargas negativas) e mesmo assim para r > 1   m , o campo não é nulo.

Com isso, vemos que a alternativa A) é falsa.

Mas vamos analisar as outras.

Na alternativa B) foi dito que O raio da esfera de borracha é 50   c m .

Analisando o gráfico do campo elétrico, vemos que ele começa crescendo linearmente atingindo seu pico em r = 50   c m .

Isso acontece, pois, a esfera central é de borracha (não-condutora), portanto as cargas ficam dispostas homogeneamente em seu interior, não apenas na camada mais superficial, como em uma esfera condutora.

Logo, essa alternativa é verdadeira!

Tranquilo até aqui? Vamos continuar! 😁

Passo 3

Na alternativa C) foi dito que o raio interno da esfera condutora vale 75   c m .

Em r = 0,75 m , perceba que o campo elétrico E decai a 0 abruptamente, isso acontece pois dentro de um solido condutor, não há campo elétrico. Logo 75   c m é o raio interno da esfera oca! E a afirmação C) é verdadeira.

Na afirmação D) temos que a carga da esfera de borracha em Coulombs é π ϵ 0 .

O campo elétrico no exterior de uma esfera, é dado como E = k Q / r 2 .

No caso, temos E , k e r , ou seja.

1 = 1 4 π ϵ 0 Q 1 2 2

1 = 1 4 π ϵ 0 Q 1 4

1 = Q π ϵ 0

Portanto, temos que Q = π ϵ 0

Logo, a afirmação D) é verdade!

Por fim, a afirmação E) diz que a superfície externa da esfera condutora possui uma densidade superficial de carga igual a ϵ 0 / 4   C / m 2 .

Se a carga Q da esfera não-condutora é π ϵ 0 e como vimos na alternativa A), com a esfera condutora e sem a esfera condutora, o campo elétrico seria o mesmo para r > 1 m , então para isso ser possível a densidade superficial de carga da esfera oca tem que ser igual a

σ = Q A

Onde Q é a carga da esfera menor e A é a área da superfície externa da esfera oca

Se a área de uma esfera é A = 4 π r 2 e r = 1 m , então

σ = π ϵ 0 4 π 1 2

σ = ϵ 0 4

Com isso, descobrimos que essa alternativa também é verdadeira!

Portanto a única alternativa falsa é a alternativa A)!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

A) Uma vez que o campo elétrico não se anula para r > 1   m , a esfera condutora deve estar carregada.

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