Exercícios Resolvidos de Densidade de Cargas

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Enunciado

Considere um bastão fino, retilíneo, situado no eixo x , entre x = 0 e x = L > 0 .

Havendo uma densidade linear de carga λ x = λ 0 sen ⁡ 3 π x / L , λ 0 = c o n s t . , em tal bastão, qual é a sua carga elétrica total?

a - 2 λ 0 L / ( 3 π ) .

b 2 λ 0 L / 3 .

c 2 λ 0 L / ( 3 π ) .

d - 2 λ 0 L / 3 .

e 0 .

Passo 1

A densidade linear de carga, por definição, é dada por:

λ x = d q d x

Para encontrar a carga total, temos que reorganizar essa equação:

d q = λ x d x

Q = ∫ λ x d x

Substituindo a expressão de λ x , teremos:

Q = ∫ λ 0 sen ⁡ 3 π x L d x

Agora basta integrar esse cara.

Passo 2

Q = ∫ 0 L λ 0 sen ⁡ 3 π x L d x = λ 0 ∫ 0 L sen ⁡ 3 π x L d x

Podemos resolver essa integral por substituição, onde:

u = 3 π x L

d u = 3 π L d x → d x = L 3 π d u

Logo:

Q = λ 0 L 3 π ∫ sen ⁡ u d u

Q = λ 0 L 3 π - cos ⁡ u

Substituindo de volta, teremos:

Q = λ 0 L 3 π - cos ⁡ 3 π x L 0 L

Q = - λ 0 L 3 π cos ⁡ 3 π L L - cos ⁡ 0

Q = - λ 0 L 3 π cos ⁡ 3 π - cos ⁡ 0

Q = - λ 0 L 3 π - 1 - 1

Q = 2 λ 0 L 3 π

A resposta certa é a letra c .

Resposta

c 2 λ 0 L / ( 3 π ) .

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