Exercícios Resolvidos de Densidade de Cargas

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Enunciado

Dado um disco de raio R com a seguinte distribuição de cargas superficiais:

σ r = k   r 2

Qual a carga total?

Passo 1

É o mesmo esquema de sempre, vamos integrar essa parada:

σ = d q d A → d q = σ d A

Q total = ∫ disco   d q

Q total = ∫ 0 R σ d A

Passo 2

Precisamos agora de uma expressão para o diferencial de área d A . Como estamos tratando de coordenadas polares, vamos expressar o d A com respeito à elas.

Seja A a área de um disco arbitrário de raio r . Temos então que:

A = π r 2

Desse fato segue que:

d A = 2 π r   d r

Passo 3

Portanto podemos substituir:

Q total = ∫ 0 R k   r 2 2 π r   d r

Q total = 2 π k ∫ 0 R r 3 d r

Q total = 2 π k r 4 4 0 R

Q total = π k R 4 2

Fim de papo.

Resposta

Q total = π k R 4 2

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