Exercícios Resolvidos de Distribuição Poisson

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Enunciado

O administrador de um hospital estudou o número de emergências cardíacas diárias no seu hospital, ao longo de vários anos e, concluiu que elas estão distribuídas de acordo com um modelo de Poisson, com média de 4 emergências por dia.

  1. Qual é a probabilidade de que, num determinado dia, tenha ocorrido mais de 2   emergências?
  2. Qual é a probabilidade de que, em dois dias, tenham ocorrido, não mais de três emergências?

Passo 1

(a)

Uma questão de distribuição Poisson das clássicas.

A gente tem uma variável que representa o número de emergências que acontecem no hospital por dia, que é X . E a gente sabe que essa v.a. segue a distribuição Poisson...

X   ~   P o i s s o n   4

Ok!

Temos que calcular, no primeiro item, a probabilidade de ocorrerem mais de duas emergências em um dia.

P X > 2 =   ?

Passo 2

P X > 2 = 1 - P X ≤ 2

Concorda? A prob. de acontecerem mais de duas emergências é um menos a prob. de acontecerem só duas ou menos emergências no dia.

= 1 - P X = 2 + P X = 1 + P X = 0

Pra cada um desses casos a gente aplica a fórmula da função de prob. de Poisson...

Passo 3

Aplicando a fórmula...

P X = 0 = e - 4 . 4 0 0 ! = e - 4

P X = 1 = e - 4 . 4 1 1 ! = 4 . e - 4

P X = 2 = e - 4 . 4 2 2 ! = 8 . e - 4

Somando tudo...

= e - 4 + 4 e - 4 + 8 e - 4 = 13 e - 4

Passo 4

Pra fechar a prob. que a gente quer é:

= 1 - 13 e - 4

≅ 0,762

Passo 5

(b)

Fazendo uma releitura do enunciado, ele quer que a gente calcule a prob. de três ou menos emergências em dois dias.

Repare! Agora são dois dias... nosso intervalo mudou, e se nosso intervalo muda, nossa variável também muda...

Se antes eu tinha uma média de 4   emergências por dia, qual seria a minha média pra dois dias? Não é difícil kkkk

λ = 8   e m e r g ê n c i a s

E com isso, a gente passa ter uma variável, sei lá Y   (ou a letra que tu quiser, tu que manda):

Y → n ú m e r o   d e   e m e r g ê n c i a s   e m   d o i s   d i a s

Que tem média 8 .

Y   ~   P o i s s o n   8

Acho que essa era a parte chave pra matar essa questão!

Passo 6

Agora a gente calcula o que foi pedido:

P Y ≤ 3 = P Y = 3 + P Y = 2 + P Y = 1 + P Y = 0

Show? Só aplicar de novo a fórmula..

P Y = 3 = e - 8 . 8 3 3 ! = 512 e - 8 6

P Y = 2 = e - 8 . 8 2 2 ! = 32 e - 8

P Y = 1 = e - 8 . 8 1 1 ! = 8 e - 8

P Y = 0 = e - 8 . 8 0 0 ! = e - 8

A resposta final é a soma disso aí, que jogando na calculadora fica:

P X ≤ 3 ≅ 0,0424

Resposta

a ≅ 0,762

b ≅ 0,0424

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