Exercícios Resolvidos de Distribuição Poisson

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Enunciado

O pessoal de controle de qualidade afirma que os rolos de fita isolante apresentam, em média, uma emenda a cada 50 metros. Admitindo que a distribuição do número de emendas a cada 50 metros é modelado por uma Poisson, calcule as probabilidades:

  1. De que não exista nenhuma emenda em um rolo de 125 metros.
  2. De ocorrerem no máximo duas emendas em um rolo de 125 metros.
  3. De ocorrer pelo menos uma emenda em um rolo de 100 metros.

Passo 1

Bom a gente sabe pelo enunciado que o número de emendas em 50 metros é modelado por uma Poisson com média de 1 emenda.

Isso significa que se a gente tiver uma v.a. X :

X - n ú m e r o   d e   e m e n d a s   e m   50   m e t r o s  

Podemos dizer que:

X   ~   P o i s s o n   ( 1 )

Passo 2

(a)

Na primeira situação a gente tem que calcular a probabilidade de não ter emenda em 125 metros de fio.

Primeiro passo é notar que não estamos mais tratando de 50 metros, então a média não é mais 1 emenda... vamos fazer uma regrinha de três aqui pra resolver isso!

1   e m e n d a - 50   m e t r o s

X   e m e n d a s - 125   m e t r o s

x = 125 50 = 2,5   e m e n d a s

Então se a nossa nova variável Y :

Y : n º   d e   e m e n d a s   e m   125   m e t r o s  

Dizemos que:

Y   ~   P o i s s o n   ( 2,5 )

Passo 3

Agora pra calcular P ( Y = 0 ) , vamos usar a função de probabilidade da Poisson.

P Y = k = e - λ . λ k k !

Substituindo os valores:

P Y = 0 = e - 2,5 . 2,5 0 0 ! = e - 2,5 = 0,0821 = 8,21 %

Passo 4

(b)

Probabilidade de ocorrerem no máximo 2 emendas é a mesma coisa que P ( Y ≤ 2 ) , beleza?

P Y ≤ 2 = P Y = 0 + P Y = 1 + P Y = 2

P ( Y = 0 ) nós já conhecemos. Vamos calcular as outras pela fórmula também:

P Y = 1 = e - 2,5 . 2,5 1 1 ! = 0,2052

P Y = 2 = e - 2,5 . 2,5 2 2 ! = 0,2565

Então:

P Y ≤ 2 = 0,0821 + 0,2052 + 0,2565 = 0,5438 = 54,38 %

Passo 5

(c)

Opa! O tamanho mudou de novo, agora 100 metros. Bom, se a gente tinha 1 emenda a cada 50 metros, vamos ter 2 a cada 100, concorda?

Então se Z :

Z : n º   d e   e m e n d a s   e m   100   m e t r o s

Z   ~   P o i s s o n   ( 2 )

Passo 6

A probabilidade de ocorrer pelo menos 1 emenda, é a mesma que P ( Z ≥ 1 ) .

Só que isso é o mesmo que dizer ...

P Z ≥ 1 = 1 - P Z = 0

A probabilidade de ocorrer pelo menos 1 emenda, é 1 menos a probabilidade de não ocorrer nenhuma emenda.

Então só precisamos calcular P ( Z = 0 ) , pela fórmula.

Passo 7

Pela fórmula:

P Z = 0 = e - 2 . 2 0 0 ! = e - 2 = 0,1353

E agora, pra finalizar: P Z ≥ 1 = 1 - 0,1353 = 0,8647 = 86,47 %

Resposta

a   8,21 %

b   54,38 %

c     86,47 %

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