Exercícios Resolvidos de Distribuição Poisson

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Enunciado

Suponha que o número de passageiros em uma viagem de Uber Juntos, do Fundão à Zona Sul ho horário de retorno, oferecida diariamente pelo motorista Carlos, seja uma v.a que segue uma distribuição de Poisson com média de 2 passageiros interessados. No carro, além do motorista, há somente 4 lugares disponível. Se não houver um mínimo de 3 passageiros, o custo-benefício não é eficiente e neste caso, Carlos não realiza a viagem. Calcule a probabilidade:

  1. De que, em um determinado dia, tenha mais interessados na viagem de Carlos do que vagas em seu carro;
  2. De que a viagem não se realize por falta de passageiros interessados (arredonde o resultado para 2 casa decimais);
  3. De numa semana com 5 dias de tentativas dessas viagem, exatamente 3 delas não tenham sido realizadas por número insuficiente de passageiros. Assuma independência do número de passageiros entre os dias;
  4. Condicional de que todos os interessados consigam a viagem dado que doi atingido o número mínimo de passageiros.

Passo 1

Primeira coisa importante é lembrar a Distribuição de Poisson, dada por

f x = P X = x = μ x e - μ x !

E uma vez que nosso problema segue essa distuição, não é um problema que requer muitos conhecimentos, apenas essa distribuição e uma boa analise da situação.

Passo 2

  1. Primeira situação é o caso de que tenham mais passageiros interessados do que vaga em seu carro.
  2. Assim vamos pensar assim: Se calcularmos a probabilidade de existir 0,1 , 2,3 ou 4 passageiros, basta subtrairmos esse valor de 1 que seria a porcentagem máxima. Desta forma teria a probabilidade de a viagem não ocorrer devido a um número maior de interessados do que vagas disponíveis. Faz sentido ?

    Logo tenha em mente que

    P X = x = μ x e - μ x !

    μ é a média de passageiros interessados naquele dia e x é o número de passageiros interessados na viagem.

    Assim tome que

    P X > 4 = 1 - ∑ i = 1 4 p i = 1 - e - 2 2 0 0 ! - e - 2 2 1 1 ! - e - 2 2 2 2 ! - e - 2 2 3 3 ! - e - 2 2 4 4 !

    Assim temos que

    P X > 4 = 1 - e - 2 1 + 2 + 2 + 4 3 + 2 3 = 1 - 7 e - 2 = 0.0527 ≈ 0.05

    Passo 3

  3. Agora queremos saber a probabilidade da viagem não acontecer devido a baixo interesse. Seu Carlos já falou, vão viajo com menos de 3 passageiros. Assim tomemos que
  4. P X ≤ 2 = ∑ i = 0 2 p i = e - 2 2 0 0 ! + e - 2 2 1 1 ! + e - 2 2 2 2 !  

    Que resulta em

    P X ≤ 2 = e - 2 1 + 2 + 2 = 5 e - 2 = 0.6767 ≈ 0.68

    Passo 4

  5. Agora seu Carlos quer saber qual é a probabilidade de ao longo de 5 dias da semana, existir 3 na qual não houve viagem devido à um número insuficiente de passageiros.
  6. Como agora temos uma distribuição de viagem ao longo da semana, na qual estamos interessados em sucesso ou fracasso. Assim devemos tomar a distribuição Binomial como foco de nossa atenção aqui. Tome que

    f x = P X = x = n x p x 1 - p n - x

    Onde teremos que x é a quantidade de dias da semana que não houveram viagens, n o total de dias da semana que iremoa adotar e p é a probabilidade de não haver viagens por número insuficiente de passageiros, ou seja p ≈ 0.68 como calculado no item (b)

    Assim temos que

    P X = 3 = 5 3 ⋅ 0.68 3 ⋅ 0,32 2 = 5 ! 3 ! 5 - 3 ! ⋅ 0.68 3 ⋅ 0,32 2

    = 10 ⋅ 0.68 3 ⋅ 0,32 2 = 0.3220

    Passo 5

  7. Agora queremos a probabilidade de que todas as viagens aconteçam pois se obteve o número esperado de passageiros, ou seja

P X ≤ 4 X ≥ 3

Que é a relação entre todos os interessado e o número mínimo. Aplicando Teorema de Bayes aqui, temos que

P X ≤ 4 X ≥ 3 = P 3 ≤ X ≤ 4 P X ≥ 3

Entretanto a gente sabe que as probabilidades de viagens é dado por um distribuição de Poisson como informado, ou seja

P X ≤ 4 X ≥ 3 = P 3 ≤ X ≤ 4 P X ≥ 3 = ∑ i = 3 4 p ( i ) 1 - ∑ i = 0 2 p ( i )

E agora mais contas

= e - 2 ( 2 3 / 3 ! + 2 4 / 4 ! ) 1 - e - 2 ( 1 + 2 + 2 2 / 2 ! ) = 2 e - 2 1 - 5 e - 2 = 2 e 2 - 5 = 0.8372

Resposta

  1. 0.05
  2. 0.68
  3. 0.322
  4. 0.8372

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