Exercícios Resolvidos de Distribuição Poisson

Ver Teoria

Enunciado

Uma loja vende em média 3 microcomputadores por dia. Admita que a demanda por este produto segue uma distribuição de Poisson. Ao verificar o estoque, observa-se existirem 2 microcomputadores. Sabe-se que a nova remessa só chegará depois de alguns dias. Qual a probabilidade de que, no fim desse período, a loja não tenha deixado de atender, por falta de estoque, as pessoas que vierem comprar quando:

a) A nova remessa chega em 1 dia?

b) A nova remessa chega em 2 dias?

Suponha que agora esta loja faz parte de uma rede composta por 4 lojas, e que há independência entre as demandas por computadores nas 4 lojas. Em cada uma das lojas há 2 computadores em estoque e a nova remessa chegará em 1 dia. O controlador geral do estoque receberá uma advertência se em pelo menos 2 dessas 4 lojas o estoque não for suficiente para atender a demanada.

c) Qual a probabilidade do controlador receber essa advertência?

Passo 1

O enunciado já nos ajuda falando qual é a distribuição, que é Poisson. Nós sabemos que o BIZU na distribuição de Poisson é descobrir o λ , que é a média.

Observando o enunciado, notamos que:

X   : V.A. que representa o número de microcomputadores demandados pelos clientes ao longo de t dias.

A demanda média, que será o λ , é

λ = 3   m i c r o c o m p u t a d o r e s / d i a

A partir disso vamos para os itens...

Passo 2

a) A nova remessa chega em 1 dia?

Bom, sabemos que a demanda é por dias t , portanto, para um dia teremos que

λ = 3 × t = 3 × 1 = 3

Aplicando na fórmula de Poisson

P X = k = e - λ . λ k k !

Substituindo

P X = x = e - 3 . λ x x !

Sabemos que o estoque da loja é de 2 microcomputadores E não queremos que a loja deixe de atender por falta de estoque, portanto estamos dizendo que antes de chegar essa remessa, a DEMANDA por microcomputadores não pode ultrapassar 2.Assim:

P X ≤ 2 = P X = 0 + P ( X = 1 ) ) + P ( X = 2 )

P X ≤ 2 = e - 3 . λ 0 0 ! + e - 3 . λ 1 1 ! + e - 3 . λ 2 2 !

P X ≤ 2 = 0,4231901

Passo 3

b) A nova remessa chega em 2 dias?

Esse ítem é análogo a letra (A). A única diferente agora é que o t está mudando, ou seja, ao invés do t ser igual a 1, temos que a nova remessa chega em 2 dias (alterando o λ )

λ = 3 × t = 3 × 2 = 6

Aplicando na fórmula de Poisson

P X = k = e - λ . λ k k !

Substituindo

P X = x = e - 6 . λ x x !

Sabemos que o estoque da loja é de 2 microcomputadores E não queremos que a loja deixe de atender por falta de estoque, portanto estamos dizendo que antes de chegar essa remessa, a DEMANDA por microcomputadores não pode ultrapassar 2.Assim:

P X ≤ 2 = P X = 0 + P ( X = 1 ) ) + P ( X = 2 )

P X ≤ 2 = e - 6 . λ 0 0 ! + e - 6 . λ 1 1 ! + e - 6 . λ 2 2 !

P X ≤ 2 = 0,0619688

Passo 4

c)

Nesse ítem temos agora uma rede de lojas, compostas por quatro lojas independentes. Sabemos que:

- As lojas são independentes

- 2 computadores em estoque em cada uma

- A nova remessa chegará em 1 dia.

Ou seja, podemos olhar cada loja como olhamos para a loja no item 1.

Teremos que:

λ = 3 × 1 = 3

P X = k = e - λ . λ k k !

Substituindo

P X = x = e - 3 . λ x x !

Passo 5

Agora vamos entender o que ele quer...

Queremos a probabilidade do controlador RECEBER a advertência, sendo esta enviada se em pelo menos 2 dessas 4 lojas o estoque não for o suficiente. Ou seja, se tivermos falta de estoque em duas, três ou quatro das quatro lojas. Certo?

Lembram do bizu do pelo menos?

P r e c e b e r   a d v e r t ê n c i a = 1 - P n ã o   r e c e b e r   a d v e r t ê n c i a

P n ã o   r e c e b e r   a d v e r t ê n c i a = P n e n h u m a   l o j a   t e r   f a l t a   d e   e s t o q u e + P ( a p e n a s   u m a   l o j a   t e r   f a l t a   d e   e s t o q u e )

Passo 6

Vamos olhar então para esses dois eventos:

1) P n e n h u m a   l o j a   t e r   f a l t a   d e   e s t o q u e → Em toda as lojas P ( X ≤ 2 )

Como as lojas são idênticas, teremos que a probabilidade de não faltar estoque é igual para todas.

P X ≤ 2 = P X ≤ 2 = e - 3 . λ 0 0 ! + e - 3 . λ 1 1 ! + e - 3 . λ 2 2 !

P X ≤ 2 = 0,4231901

Como são eventos independentes podemos multiplicar:

P n e n h u m a   l o j a   t e r   f a l t a   d e   e s t o q u e = 0,4231901 4 = 0,032

2)   P ( a p e n a s   u m a   l o j a   t e r   f a l t a   d e   e s t o q u e )

Primeira coisa que devemos fazer é escolher qual dessas lojas será a sem estoque. Para isso faremos uma combinação:

4 1 = 4 ! 1 ! . 3 ! = 4   p o s s i b i l i d a d e s

Agora vamos olhar para as probabilidades

P t e r   f a l t a   d e   e s t o q u e = P X > 2 = 1 - P X ≤ 2

P t e r   f a l t a   d e   e s t o q u e = 1 - 0,4231901 = 0,5768099

Como os eventos são independentes, podemos multiplicar suas probabilidades, portanto:

P a p e n a s   u m a   l o j a   t e r   f a l t a   d e   e s t o q u e = 4 × 0,423 1901 3 × 0,5768099 = 0,175

Passo 7

Desta forma

P r e c e b e r   a d v e r t ê n c i a = 1 - P n ã o   r e c e b e r   a d v e r t ê n c i a

P r e c e b e r   a d v e r t ê n c i a = 1 - 0,032 + 0,175 = 0,793

Obs.: Nesse item (c) poderíamos olhar como uma distribuição binomial em que Y seria nossa V.A. e ela representaria o número de lojas que não atendem a demanda ao longo de 1 dia.

Y ~ B i n o m i a l ( n = 4 , p = 0,577 )

Olhando desse jeito, o que iríamos buscar seria:

P r e c e b e r   a d v e r t ê n c i a = P ( Y ≥ 2 )

P r e c e b e r   a d v e r t ê n c i a   = 1 - P X < 2 = 1 - P Y = 0 + P Y = 1

Em que

P Y = y = 4 y 0,577 y 0,423 4 - y

Resposta

a) 0,4231901

b) 0,0619688

c) 0,793

Exercícios de Livros Relacionados

O número de pessoas que chegam para tratamento em um pronto-socorro pode ser modelado por um processo de Poisson com taxa de cinco por hora. a. Qual é a probabilidade de exatamente quatro pessoas cheg
Em um processo de Poisson, o que deve acontecer no intervalo de tempo (0,t) e no intervalo (t, t+ ∆ t ) para que nenhum evento ocorra em todo o intervalo (0, t+ ∆ t ) ? Use esta Hipótese e as Hipótese
Deduza a fórmula para a média e o desvio padrão de uma variável aleatória uniforme discreta sobre a faixa de inteiros a, a +1,…, b.
Suponha que apenas 0,10% de todos os computadores de certo tipo apresentem falhas de CPU durante o período de garantia. Considere uma amostra de 10.000 computadores. a. Qual é o valor esperado e o des
Falhas ocorrem no interior de plástico usado em automóveis, seguindo uma distribuição de população, com uma média de 0.02 falha por painel. Se 50 painéis foram de pressionados, qual será a probabilida