Exercícios Resolvidos de Distribuição Poisson

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Enunciado

Uma fonte radioativa é observada durante 6 intervalos de tempo, cada um de 10 segundos de duração. O número de partículas emitidas ( X ) , durante cada intervalo, tem uma Distribuição de Poisson com parâmetros λ = 0,5 partículas/segundo.

  1. Qual a probabilidade – para um intervalo de tempo – de que 5 ou mais partículas sejam emitidas?
  2. Qual a probabilidade de que, em pelo menos 1 dos 6 intervalos de tempo, 5 ou mais partículas sejam emitidas?

Passo 1

(a)

O número de partículas emitidas tem média de 0,5 partículas/segundo. Como um intervalo de tempo tem 10 segundos de duração, teremos média de 5 partículas/intervalo concorda?

Então, em um intervalo de tempo segue uma distribuição Poisson com:

λ = 5

X   ~   P o i s s o n   5

Temos que calcular:

P X ≥ 5 =   ?

= 1 - P ( X < 5 )

Passo 2

Podemos reescrever assim:

P X ≥ 5 = 1 - P X = 0 + P X = 1 + P X = 2 + P X = 3 + P X = 4

Agora aplicamos a fórmula da Poisson.

P X = k = e - λ . λ k k !

P X = 0 = e - 5 . 5 0 0 ! = e - 5

P X = 1 = e - 5 . 5 1 1 ! = 5 e - 5

P X = 2 = e - 5 . 5 2 2 ! = 12.5 e - 5

P X = 3 = e - 5 . 5 3 3 ! = 125 6 e - 5

P X = 4 = e - 5 . 5 4 4 ! = 625 24 e - 5

Enfim:

P X ≥ 5 = 1 - e - 5 + 5 e - 5 + 12.5 e - 5 + 125 6 e - 5 + 625 24 e - 5

Jogando na calculadora bolada aí:

P X ≥ 5 ≅ 0.5595

Passo 3

(b)

A gente sabe qual a probabilidade de um intervalo emitir 5 ou mais partículas.

p = 0.5595

Agora pra saber se dentre n = 6 intervalos, a probabilidade de pelo menos 1 emitir 5 ou mais partículas, a gente vai ter uma distribuição Binomial com:

n = 6

p = 0.5595

E vamos calcular:

P X ≥ 1 =   ?

= 1 - P ( X = 0 )

Passo 4

Jogando na distribuição Binomial:

P X = k = n k p k 1 - p n - k

P X = 0 = 6 0 . 0.5595 0 . 1 - 0.5595 6

P X = 0 = 0.007305

Com isso, a probabilidade que a gente quer é:

P X ≥ 1 = 1 - 0.007305

= 0.9927

Resposta

a   0.5595

b   0.9927

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