Exercícios Resolvidos de Distribuição Poisson

CEFET-LISTA VA- REGINA-16

Em uma seção de uma auto-estrada, o número de buracos, que é bastante significante para requerer reparo, é suposto seguir uma distribuição de Poisson com média de dois buracos por quilômetro.

  1. Qual é a probabilidade de que não haja buracos que requeiram reparo em 5   k m de auto-estrada?
  2. Qual é a probabilidade de que no mínimo um buraco requeira reparo em 0,5   k m de auto-estrada?
  3. Se o número de buracos estiver relacionado à carga do veículo na auto-estrada e algumas seções dessa auto-estrada estiverem sujeitas a uma carga pesada de veículos, enquanto outras seções estiverem sujeitas a uma carga leve de veículos, como você se sente a respeito da suposição de distribuição de Poisson para o número de buracos que requeiram reparo?

Passo 1

Se X é a v.a. que representa o número de buracos que requeiram reparo em 5 km de estrada.

Se a média é de 2 buracos por kilometro, em 5 km teremos uma média de 10 buracos, concorda?

Então, podemos dizer que:

X   ~   P o i s s o n   ( 10 )

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Passo 2

(a)

Temos que calcular a probabilidade de que nenhum buraco precise de reparo em 5 km:

P X = 0

Vamos usar a fórmula de Poisson:

P X = 0 = e - 10 × 10 0 0 !

≅ 4,54 × 10 - 5

Passo 3

(b)

Se Y   é a v.a. que representa o número de buracos que requeiram reparo em 0,5 km de estrada.

Agora a média será de 1 buraco, concorda?

Y   ~   P o i s s o n   1

Passo 4

Temos que calcular a probabilidade de no mínimo um buraco precisar de reparo:

P X ≥ 1 = 1 - P X = 0

Usamos a fórmula:

P X = 0 = e - 1 × 1 0 0 !

≅ 0,3679

Então:

P X ≥ 1 ≅ 1 - 0,3679

≅ 0,6321

Passo 5

(c)

Seria um problema, pois Poisson trabalha com uma média e se a gente tiver um pedaço da estrada mais suscetível a buracos que precisem de reparos do que outros pedaços da estrada, provavelmente Poisson não representará bem a estrada como um todo.

Resposta

a ≅ 4,54 × 10 - 5

b ≅ 0,6321

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