Exercícios Resolvidos de Distribuição Poisson

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Enunciado

Estima-se que 100   meteoritos por milhão de k m 2 atingem a terra anualmente. O número de meteoritos segue uma distribuição de Poisson. A região metropolitana de São Paulo (incluindo o ABC) pode ser aproximada por um quadrado de 200   k m de perímetro. Calcule a probabilidade de a região ser atingida por um meteorito ao ano.

Passo 1

Fala pessoal, tudo bem com vocês? Vamos para mais uma questão de probabilidade, dessa vez envolvendo a distribuição de Poisson.

O que sabemos do enunciado? Sabemos que se X   indica o número de meteoritos por milhão de k m 2 e que meteoritos por milhão de atingem a terra anualmente então X   ∼ p o i s s 100

Queremos a probabilidade de observar 1   meteoro em uma região quadrada de perímetro igual a 200 k m  

Para resolver essa questão vamos começar calculando a área da nossa região.

Passo 2

Sabemos que a região de interesse é um quadrado com perímetro 200 k m   , logo seus lados são 50 k m   e com isos tem como área 2500 k m 2

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de interesse. Como X   ∼ p o i s s 100 a função de probabilidade de X   é: P X   =   x   =   100 x e - 100 ⋅ x x !

Será que agora é só substituir x   por 1 e calcular? Vamos pensar um pouco!

A resposta é NÃO!! Vamos lá nós temos uma taxa de 100   por MILHÃO de k m 2 , mas queremos calcular em uma região de 2500 k m 2 . Como vamos fazer isso? Precisamos da taxa correta para essa região.

Passo 4

Vamos calcular essa nova taxa. Para isso, vamos usar regra de três. Nossa nova região t   tem a área de 2500 k m 2 =   2500 ⋅ 10 - 6 MILHÕES de   k m 2

Temos que fazer essa conversão, pois a taxa original está em MILHÕES de   k m 2

Então nossa regra de três fica

100   =   1      

x   = 2500 ⋅ 10 - 6          

= > x =   100 ⋅ 2500 ⋅ 10 - 6    

=   0.25  

Passo 5

Agora que obtivemos a taxa correta para nossa região, podemos calcular a probabilidade de observarmos 1 meteorito.

P X   =   1   =   0.25 e - 0.25

Prontinho pessoal. Conseguimos terminar mais uma questão de probabilidade. Espero que os passos tenham ficado claros. Até a próxima questão!!

Resposta

0.25 e - 0.25

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