Exercícios Resolvidos de Distribuição Poisson

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 152-24

Suponha que a probabilidade de que um item produzido por uma máquina seja defeituoso é de 0,2. Se dez itens produzidos por essa máquina são selecionados ao acaso, qual a probabilidade de que não mais do que um defeituoso seja encontrado? Use a binomial e a distribuição de Poisson e compare os resultados.

Passo 1

Bom ele quer que a gente olhe de duas formas certo? Então vamos olhar primeiro pra Binomial!

- Binomial

Considerando X como o número de itens defeituosos encontrados na amostra, os parâmetros serão:

X ~ b ( 10 ; 0,2 )

Lembram né? Representamos a binomial como:

X ~ b ( r e p e t i ç õ e s , p r o b a b i l i d a d e   d e   s u c e s s o )

E sabemos também que na binomial

P X = k = n k p k 1 - p n - k

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Portanto se queremos a probabilidade de que não mais do que um defeituoso seja encontrado, queremos X ≤ 1 .

P X ≤ 1 = P X = 0 + P ( X = 1 )

P X ≤ 1 = 10 0 × 0,2 0 × 0,8 10 + 10 1 × 0,2 1 × 0,8 9

P X ≤ 1 = 0,1074 + 0,2684 = 0,3758

Passo 3

Agora vamos olhar a distribuição de Poisson

- Poisson

É um pouco diferente, eu sei, olhar para esse caso como Poisson. Mas vamos tentar ok?

A nossa variável aleatória continua sendo X: o número de itens defeituosos encontrados na amostra.

Na distribuição de Poisson é sempre importante identificar o parâmetro, no caso o λ . Como o λ é geralmente a média, observando o enunciado, como temos dez itens e a probabilidade de ser defeituoso é 0,2 podemos dizer que a média de itens defeituosos é 2 certo? Portanto

λ = 2

Se queremos a probabilidade de no máximo dois defeituosos, queremos

P X ≤ 1 = P X = 0 + P X = 1

P X ≤ 1 = e - 2 × 2 0 0 ! + e - 2 × 2 1 1 !

P X ≤ 1 = 0,4060

Passo 4

Então apesar de olharmos de formas completamente distintas, uma pela distribuição binomial e outra pela Poisson, podemos ver que os resultados apesar de não serem idênticos são próximos.

Resposta

Distribuição Binomial: 0,3758

Distribuição Poisson: 0,4060

Resultados razoavelmente próximos.

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