Exercícios Resolvidos de Distribuição Poisson

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Enunciado

O pessoal de controle de qualidade de uma empresa de asfalto, afirma que uma das rodovias que conecta o Rio de Janeiro com Minas gerais apresenta em média um buraco a cada 50   k m . Admitindo que a distribuição do número de buracos a cada 50   k m é modelado por uma distribuição de Poisson, calcule as probabilidades:

  1. De que não exista nenhum buraco em 30   k m
  2. De ocorrerem no máximo dois buracos em 125   k m
  3. De ocorrer pelo menos um buraco em 100   k m

Passo 1

A distribuição de Poisson é dada por

f k , λ = e - λ λ k k !

Na qual temos que λ é a taxa de k m percorrido por unidade de buracos possíveis e k é o número de buracos em nosso problema

Passo 2

  1. Então tome para o primeiro item que a taxa de k m percorrido por unidade de buracos possíveis é dada por
  2. λ = 30   k m 50   k m = 0.6

    Assim temos que a probabilidade

    f 0 ,   0.6 = e - 0.6 0.6 0 0 ! = e - 0.6 = 0.5488

    Isso implica que temos um pouco mais que 50 % de chance de escolher um trecho de 30   k m e não ter nenhum buraco.

    Passo 3

  3. Agora vamos para uma taxa de
  4. λ = 125   k m 50   k m = 2.5

    Que queremos saber a probabilidade de ter 2 buracos, assim temos que

    f 0 ,   2.5 = e - 2.5 2.5 0 2 ! = 0 . 0205

    f 1 ,   2.5 = e - 2.5 2.5 1 2 ! = 0 . 051

    f 2 ,   2.5 = e - 2.5 2.5 2 2 ! = 0.1283

    A probabilidade de ter no máximo dois buracos será a multiplicação das probabilidades de não ter nenhum buraco, apenas um buraco e dois buracos!

    = 0,00135

    Ou seja, dizemos que a probabilidade é quase de 0 , 13 % de um trecho de 125   k m ter no máximo 2 buracos.

    Passo 4

  5. Agora a probabilidade de em 100 k m ter somente 1 bucado.

λ = 100 k m 50 k m = 2

Assim a probabilidade é

f 1,2 = e - 2 2 1 1 ! = 2 e 2 = 0.2707

Ou seja, para achar um trecho de 100   k m com apenas 1 buraco tem uma probabilidade de aproximadamente de 27 % .

Resposta

  1. 0.5488
  2. 0 . 00135
  3. 0.2707

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