Exercícios Resolvidos de Distribuição Poisson

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Enunciado

O número de petroleiros que chegam a uma refinaria em cada dia ocorre segundo uma distribuição de Poisson, com λ = 2 . As atuais instalações podem atender, no máximo, a três petroleiros por dia. Se mais de três aportarem num dia, o excesso é enviado a outro porto.

a) Em um dia, qual a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto?

b) De quanto deverão ser aumentadas as instalações para permitir atender a todos os navios que chegarem pelo menos em 95% dos dias?

c) Qual o número médio de petroleitos que chegam por dia?

Passo 1

Estamos trabalhando com distribuição de Poisson certo? Mas é a distribuição de qual variável? Será essa aqui ó

X :   o   n ú m e r o   d e   p e t r o l e i r o s   q u e   c h e g a m   à   r e f i n a r i a   e m   u m   d i a .  

Pelo enunciado temos que X ~ P o i s s o n 2 . Beleza?!

Vamos utilizar aqui então a formula

P X = k = e - λ . λ k k !          

Mas vamos ver como irá funcionar?

Passo 2

a) Qual a probabilidade de se enviar petroleiros para outro porto?

Bom, pelo enunciado sabemos que se mais de três aportarem num dia, o excesso é enviado a outro porto, portanto queremos P ( X > 3 ) .

Se você reparar, a probabilidade do evento ocorrer para X > 3 é igual a 1 menos a probabilidade do conjugado X ≤   3 . Ou seja,

P X > 3 = 1 - P X ≤ 3

Assim,

P X ≤ 3 = P X = 0 + P X = 1 + P X = 2 + P X = 3

Sabemos, pela distribuição de Poisson que:

P X = k = e - λ . λ k k !                          

Substituindo:

P X = 0 = e - 2 . 2 0 0 ! = e - 2

P X = 1 = e - 2 . 2 1 1 ! = 2 e - 2

P X = 2 = e - 2 . 2 2 2 ! = 2 e - 2

P X = 3 = e - 2 . 2 3 3 ! = 4 e - 2 3

Assim

P X ≤ 3 = e - 2 + 2 e - 2 + 2 e - 2 + 4 e - 2 3 = 19 e - 2 3 = 0,8571

E

P X > 3 = 1 - P X ≤ 3 = 1 - 0,8571 = 0,1429

Passo 3

b) De quanto deverão ser aumentadas as instalações para permitir atender a todos os navios que chegarem pelo menos em 95% dos dias?

Queremos saber quantas instalações devemos aumentar para caber/atender todos os navios na maioria dos dias, em pelo menos 95% dos dias.

Se a nossa variável aleatória X é a quantidade de barcos que chegam ao nosso porto e podemos chamar de x o a quantidade de instalações no mesmo, para aceitar um barco precisamos que X ≤ x o certo?

E se queremos que a probabilidade de aceitar seja no mínimo 95%, queremos que:

P X ≤ x o ≥ 95 %

P X ≤ x o ≥ 0,95

Como desconhecemos x o precisamos ir na tentativa mesmo. O que queremos é um x o em que a probabilidade seja maior ou igual a 95%.

Bom, sabemos pelo item anterios que

P X ≤ 3 = 0,8571

Vamos tentar X ≤ 4 ,     5 ,     …

P X ≤ 4 = P X ≤ 3 + P X = 4 = 19 e - 2 3 + 2 e - 2 3 = 0,9473

P X ≤ 5 = P X ≤ 4 + P X = 5 = 21 e - 2 3 + 4 e - 2 15 = 0,983

Opa! É esse né?

Como no caso são necessários 5 instalações e que como queremos saber quantas instalações A MAIS devemos ter e sabemos que temos apenas 3, precisamos colocar mais DUAS instalações!

Passo 4

c) Qual o número médio de petroleitos que chegam por dia?

Pela distribuição de Poisson a média é dada pelo parâmetro, ou seja,

E X = λ

Assim, neste caso é λ = 2 portanto E X = 2 .

Resposta

a) 0,1429

b) 2 instalações

c) λ = 2

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