Exercícios Resolvidos de Distribuição Poisson

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Enunciado

Sabe-se que ocorre, em média, um acidente por dia numa certa estrada. Além disso, o número de ocorrências de acidentes ao longo de um intervalo de tempo de duração fixa segue uma distribuição de Poisson. Calcular a probabilidade de que:

  1. num determinado dia ocorressem pelo menos 3 acidentes. (calcule o resultado com 2 casas decimais);
  2. num grupo de 4 dias houvesse exatamente 2 dias, dos 4 selecionados, com pelo menos 3 acidentes por dia.

Obs.: Para simplificar os seus cálculos, use nas contas os valores (aproximados) que constam na tabela abaixo:

Passo 1

(a)

Pelo enunciado, a gente entende que temos, por exemplo:

A : n ú m e r o   d e   a c i d e n t e s   d i á r i o s   n u m a   e s t r a d a

E que em média ocorre 1 acidente por dia e que A segue distribuição de Poisson, então:

A   ~   P o i s s o n ( λ = 1 )

Passo 2

Se ele quer a prob. de ocorrerem pelo menos 3 acidentes num dia, então ele quer.

P A ≥ 3 =   ?

P A ≥ 3 = 1 - P A ≤ 2

P A ≥ 3 = 1 - [ P A = 0 + P A = 1 + P A = 2 ]

Usando a fórmula de Poisson.

P A = 0 = e - 1 . 1 0 0 ! = 0,3678

P A = 1 = e - 1 . 1 1 1 ! = 0,3678

P A = 2 = e - 1 . 1 2 2 ! = 0,1839

Passo 3

Substituindo os valores:

P A ≥ 3 = 1 - 0,3678 + 0,3678 + 0,1839

P A ≥ 3 = 0,0805

P ( A ≥ 3 ) ≈ 0,08

Passo 4

(b)

Primeira coisa que a gente tem que pensar é qual a prob. de ter 3 acidentes num dia.

P A ≥ 3 =   ?

Pelo cálculo da letra (a), a gente sabe que.

P A ≥ 3 = 0,08

Isso será considerado como sucesso, ter pelo menos 3 acidentes no dia.

A gente terá um grupo de 4 dias, → n = 4

E uma nova variável.

Y : n ú m e r o   d e   d i a s ,   e n t r e   o s   4   s e l e c i o n a d o s , c o m   p e l o   m e n o s   3   a c i d e n t e s

O que que isso lembra? Binomial, exato.

Y   ~   B i n   ( 4 ; 0,08 )

Passo 5

O exercício pede a prob. de dois dias acontecerem pelo menos 3 acidentes. Ele pede então.

P Y = 2 =   ?

Usando a fórmula da Binomial.

P Y = 2 = 4 2 . 0,08 2 . 0,92 2

P Y = 2 = 0,0325

Resposta

a   0,08

b   0,0325

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