Exercícios Resolvidos de Distribuição Poisson

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Enunciado

06) O guarda florestal Pedro sabe que em média ocorrem 2 incêndios florestais acidentais por mês na reserva de que cuida, onde o número de incêndios em um mês segue uma distribuição de Poisson. Além disso, os incêndios em cada mês são independentes entre si. Em cinco meses de observação, qual a probabilidade de ocorrerem incêndios apenas em 1 dos meses?

A) 5 e - 8 ( 1 - e - 2 )

B) 5 / 12

C) e - 2 ( 1 - e - 2 )

D) 5 e - 2

E) 5 e - 5 12 / 12

Passo 1

Ooii gente, tudo certinho com vocês?

É gente, encontraram uma floresta que gosta de probabilidade haha. Nela, o número de incêndios por mês segue uma distribuição de Poisson, com média de ocorrência de 2 incêndios florestais acidentais por mês. Ou seja, λ = 2 .

O que a questão quer saber é a probabilidade de, em 5 meses de observação, ocorrer incêndio em apenas 1 dos meses.

Mas como que a gente pode calcular isso? Será que é só jogar na fórmula da distribuição de Poisson?!

Bom galera, o essencial nessas questões envolvendo distribuição de V.A é a gente ser capaz de identificar a variável aleatória cuja probabilidade está sendo calculada. Vocês conseguem identificar pra essa questão?

Como queremos que apenas 1 dentre 5 meses tenha incêndio, podemos definir:

X → número de meses com ocorrência de incêndio.

Beleza! Então, temos um evento considerado “sucesso” que é a ocorrência de incêndio em um certo mês. E, dentre 5   tentativas queremos que ocorra apenas 1 “sucesso”.

Isso lembra vocês de algo?

É justamente a nossa distribuição Binomial!

Passo 2

Muito bom, gente! Já identificamos a nossa V.A e a distribuição de probabilidade que vai nos dar a resposta. Mas cadê Poisson hein?

A ideia de Poisson nessa questão é nos permitir calcular a probabilidade de ocorrer sucesso e fracasso na nossa distribuição binomial. Pensa comigo, qual a probabilidade de não ocorrer incêndio em um mês? Ou seja, a probabilidade de fracasso P F .

Bom, segundo a distribuição de Poisson, com λ = 2   incêndios por mês, temos que:

P 0 = e - 2 ⋅ 2 0 1 = e - 2

Logo, a probabilidade de sucesso P S , vale:

P S = 1 - P F = 1 - e - 2

Pronto 😊

Passo 3

Já estamos com a faca e o queijo na mão. Agora é só aplicar tudo que encontramos na distribuição binomial. Lembram que sua probabilidade é dada, de modo geral, por:

P X =   n x ⋅ P S x ⋅ 1 - P S n - x

Ok! Pro contexto dessa questão, temos n = 5 , x = 1 , P s = 1 - e - 2 . Logo:

P 1 =   5 1 ⋅ 1 - e - 2 1 ⋅ e - 2 5 - 1

Portanto:

P 1 = 5 ⋅ e - 8 ( 1 - e - 2 )

Prontinho! Só queria deixar claro que incêndio em floresta é fracasso total, “sucesso” é só aqui na questão haha. Até a próxima pessoal!

Resposta

Letra A: 5 ⋅ e - 8 ( 1 - e - 2 )

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